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第三章 微分中值定理与导数的应用

第三节 泰勒公式

背景：在微分的应用中知道，当|x|很小时，有如下的近似等式——

——这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子。显然，在x=0处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。

缺陷：

1. 精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；

2. 用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小；

3. 对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。

泰勒（Taylor）中值定理：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a,b)，有

——这里ξ是x0与x之间的某个值。

概念：

• 函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次泰勒多项式：
  

• f(x)按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式：

• 拉格朗日余项：
  

• f(x)按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺（Peano）型余项的n阶泰勒公式：

• 佩亚诺（Peano）型余项：
  

• 带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式：
  

• 带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式：
  

• 近似公式：
  

误差估计式：

• 泰勒公式的误差估计式：
  

• 麦克劳林公式误差估计式：