大概在几百年前，远在欧洲的牛顿和莱布尼兹先后发明了“微积分”这一解决问题的利器。今天我们就谈谈微积分中的一个重要概念---导数               1.直线和直线的斜率

        在中学，相信大家都学过“一次函数”吧，当时的定义是：形如f（x）=kx+b的函数就叫做一次函数，它的图像是一条直线

         不少人应该听说过，系数k的绝对值大小决定图像的倾斜程度，k的正负则决定了函数的单调性，那么有没有人真正从几何意义的角度去理解这个“k”的根本含义呢？

       我们先在一个函数f（x）=kx+b的图像上取两点（x0，y0）和（x，y），如图

       我们还是先现在按照初中的方法推演一遍k，首先，将A、B两点坐标代入f（x），就可以轻松得到两个式子：kx0+b=y0和kx+b=y，由于我们要求的是k，所以常数b就显得“碍手碍脚”了，于是乎，我用第二个式子左右分别与第一个式子相减，最后得到k（x-x0）=y-y0。到了这里，我们很容易写出k的表达式

      其中的Δy和Δx分别表示从A到B两点函数值y和自变量x的增量，所以“k”实际上表示一种“增量的比值”，学过简单三角学知识的同学可能还知，这个值的大小正好等于f（x）与x轴夹角的正切值tanθ的大小，我们还给它一个名字：直线的斜率。这个名字还是很形象的：好比你去爬一座山，山的坡度越大，这个地方的“斜率”就应该越大，而函数图像的斜率则体现了函数值增减的剧烈程度，即函数的“坡度”。

          2.切线与割线

      看到这个小标题的两个名词，学过有关圆的知识的小伙伴应该很熟悉了吧？然而有的朋友可能不知道，很多函数图像也有它们的“切割线”，而函数图像的“切线”恰恰是引出导数所需要的一个极其重要的概念。那么我们先来看看什么是割线

     像这样，我们先在坐标系中任意画一个函数f（x）的图像，确定一点A，再在图像任意画一点B（不与A重合），此时直线AB看起来像把图像“割”成了两部分，我们将其称为“割线”，这个名字也是十分形象的。

      现在，我开始让B点开始靠近A点，当AB之间的距离无穷小时，此时的直线AB称之为A点的切线

       但是我们知道，切线与图像只能有一个交点，而根据“两点确定一条直线”，AB又不可能重合，还是一条割线，这样不就出现自我矛盾了么？

        所以，我们运用了极限的思想定义切线：让AB间距离无穷小，但又不让两点完全重合，与一般的割线又能区别开来，perfect！

         3.函数的导数

      上文中，我们已经用极限的思想定义了切线，那么不只是A点，在函数图像上的其它点上，我们一样能作出它们的切线。而一个点处，肯定只对应着一个切线的斜率值。于是我们可以知道，这个切线的k值与x肯定成某种具体的函数关系，这个函数关系我们称之为导函数，简称导数，把上面的定义的切线拿来康康，很容易知道无穷靠近的AB的坐标差之比的极限就能表示导数的大小，此时我们给Δy、Δx一个新名字，叫做微分，而导数又可表示为dy/dx的形式，所以导数又称为微商

     上面给出的即为导数的极限定义，其中lim是英文limit的缩写，表示求极限，下面的Δx→0形象地表示了令Δx趋于零。光说不做有什么用？我们来举个例子先

e.g.求f（x）=3x^2的导数

     在这里，没接触过极限的同学可以直观地把Δx当作零处理就行了

     而不同函数对应着不同的求导方法，人们为了避免麻烦的重复计算，便将它们一劳永逸的做成了“导数表”，如下图：

     顺便附上导数的运算法则：

        4.导数与积分

     在初中，各位的老师应该经常分析运动学中的v-t图像，只不过它们基本上都是匀速运动的图像，相对比较好分析

       然而大家见过这种图像么？

      遇到这样的情况，位移x难道就没存办法求了吗？当然不是。

       我们试着把（0，0）到（t0，0）之间像这样分成许多矩形

     当矩形的个数n趋于无穷时，我们便可以认为在每个Δt内，物体做匀速运动，此时，我们将所有的矩形面积累加起来，便得到了物体的总位移x，其实也就是图像与坐标轴围成曲边梯形的面积，而这个面积是一个定值，称之为该函数在0~t0区间的定积分，记做

       我们知道，物理学上的速度定义为位移对时间的导数dx/dt，我们既然对位移x求一次导数能得到速度v，对速度v做一次积分能得到位移x，这说明了什么？这说明了积分和求导是一对互逆的运算啊！

       我们这样便抓住了某种规律：能不能将定积分的值表示成某种函数的差值呢？答案是：能，这不才有了牛顿---莱布尼茨公式嘛！

    我们将被积函数f（x）视为另一个函数F（x）的导函数，f（x）在b~a区间的定积分值即为F（a）-F（b）的值，这个F（x）被我们称之为原函数，这样，微分和积分间的互逆关系便完美展现出来了！

e.g.

     这样，我们就成功get新技能求导与积分，你学废会了吗？

p.s.

（1）利用积分，我们可以解决我们的小学疑惑：圆锥体的体积

（2）最近有人问了我一个这样的问题

   这位同学已经知道要求与AB平行的切线的表达式，求出切点D的坐标即可，初中推荐的解法为：设出直线的表达式，已知通过判别式Δ=0解出直线表达式，联立方程组求解。其实在学习了导数知识后，求出二次函数的导函数，令导函数值为AB斜率，求出该点x值即可，这样我们就简单直观的得到了答案。