先看黎曼积分的定义：

图2表明，黎曼可积的充要条件是：对于图1中的任意一个曲边梯形，不管曲边上取最大值还是最小值，积分的结果应该相同，也就是：

再看迪利克雷函数：

也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数），也就是

也可以用图形表示：

对这个函数进行积分，因为数轴上任意一个区间

既包含有理数，也包含无理数，所以这个积分可分为：

两者积分的结果不相等，有

这里的分划T指任意一个

从而不满足图3中的黎曼可积的条件

因此，迪利克雷函数不是黎曼可积的。

通过上面证明过程可以看出，一个函数要黎曼可积，其实就是要保证在足够小的区间里面，这个曲边梯形的面积具有唯一的值，其实就是要求被积函数应该是连续的（简单理解），而迪利克雷函数不满足这个条件，所以不可积。