就一有关抛物线滚动的焦点轨迹方程的求解

原视频：BV1k3411C73Y

一、抛物线沿x轴滚动

第一个思路是变换参考系：

若运动过程中抛物线为参考系，那么地面所在直线就是抛物线上的一点切线，这时可以设切点坐标(参数方程)快速写出切线的运动表达式，然后再用伽利略变换(参考系变换)将参考系变为直线即可

但目前我的知识储备还不够，因此尚未能用此法写出解析，先在此留下一个给自己的疑问吧，以后学会了再来写此法的解析。若网友们感兴趣也可帮助写此法解析[doge].

但我们仍能借助上图，下面介绍个人所想到的证法：

设抛物线方程为：,即,焦点坐标为:

设曲线上一点坐标为：

该点关于抛物线的切线斜率为：

则切线倾斜角为：

运用弧长公式求得由顶点到该点的曲线长度(即滚过的弧长)为：

则滚动过程中切点坐标为：

再考虑到抛物线在滚动时发生了旋转，先将抛物线平移，使得切点平移至点处，再绕着旋转一定角度使得抛物线与x轴相切(且抛物线恒在x轴上方)

我们只需将抛物线做以上的变换即可。

而绕着非原点的旋转较难直接描述，需要先平移至原点再进行旋转变换最后再平移回，因此有了如下的步骤和解析。

1、将抛物线沿向量平移，使得切点平移至原点

此时焦点坐标平移至：

二、将抛物线顺时针旋转θ角度，使得抛物线与x轴相切

取以原点为起点为终点的向量，作顺时针的旋转变换得：

此时焦点旋转至：

3、将抛物线向右平移个单位，使得切点平移至滚动时的切点，即得滚动后抛物线

此时焦点坐标平移至：

上述即滚动时的交点坐标，下面再将l和θ用参数m表示即可

下面计算弧长l

令,原式

下面用双曲代换求解

令,

其中

代回得：

再求出θ,其中

构造直角边为m,p的直角三角形求得：

综上，滚动时焦点运动轨迹参数方程为：

化简得：，其中m为参数

由①得，，代入②式消参得：

该曲线为双曲余弦函数，即运动轨迹为悬链线

二、抛物线在相同的抛物线上滚动(这个稍微简单些)

由于两抛物线大小和形状相同，且动抛物线由顶点开始沿定抛物线滚动，则滚过的路径与此刻切点到定抛物线顶点的弧长相等，也即动抛物线和定抛物线关于切点A处的切线轴对称(如上图所示)

因此求出每一时刻定抛物线焦点关于切点A切线的对称点即动抛物线的焦点坐标

设定抛物线方程为：,即,焦点坐标为:

设A坐标为：

A点关于抛物线的切线方程为：

化为直线一般方程，即

过定抛物线焦点作该切线垂线，方程为：

联立，解得：

即动抛物线焦点坐标为：,即

故动抛物线焦点在定抛物线的准线上运动

下面再用相关点法求取动抛物线的准线方程

即求定抛物线准线关于切线的对称直线的方程

设动抛物线准线方程上一点为(x₀,y₀)

过该点作切线的垂线，方程为：

联立

解得：

则(x₀,y₀)关于切线对称点坐标为：

该点位于定抛物线准线上，则有

∴动抛物线准线方程为：

化为：

求取直线所过定点，则x,y值与变量m无关，则需满足m的各次项前系数均为0：

，解得：

∴动抛物线准线恒过定抛物线的焦点