平面几何题目分享（14）较为简单的倒角题

如图，△ABC，AD⊥BC，M是BC中点，过M的直线与圆（ABD）交于EF两点，△AEF垂心为H，求证：AHDC四点共圆。

证明共圆的方法有很多，这里由于∠ADC=90°，所以很自然的，想到证∠AHC=90°。而H为垂心，AH⊥EF，所以只需证EF∥CH。

到这里，我们便会产生这样一个想法：为什么过A的EF垂线上偏偏是H点满足了EF∥HC，这让我们关注到了H在直线AH上的位置。于是，便不难想到一个关于垂心的熟知结论，即垂心H关于三角形三边的对称点在三角形的外接圆上。这个结论很好的刻画了H在垂线上的位置。

这里我们做H关于EF的对称点K，易得K在圆AEF上。因为P是HK中点，要证的平行即可转化为证Q是CK中点（三角形中位线）又因为M是BC中点，所以只需证EF∥BK，即AK⊥BK。由AB是直径，这是显然的。至此，这道题的证明便结束了。