学不明白的数学分析（六十二）

2023-02-27 18:11 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

这是数学分析部分的最后一篇啦！

其实也挺快的，从下册开始写到现在，一共也就一个多月……果然东西虽然是越来越难的，但是因为和前面的联系十分的紧密，所以前面的东西一旦讲完，对于学习后面的东西也是相当有裨益的，于是速度也就越来越快，内容也相对紧凑了一些。

Fourier级数部分因为放在数学分析部分其实讲不了太多，这部分内容实际上是十分有必要去单独学习的，将其混在其他内容当中去学习也不太可能吸收得到太多东西。所以，有一些内容也会略写，甚至用图片来展示。有兴趣的小伙伴是可以自己去参阅专门的Fourier分析的教材或者文献的，这里我就不多讲了~

那我们就开始最后一篇吧！

Chapter Seventeen Fourier分析

17.4 平方平均逼近

对于一般的连续函数，我们已经知道可以用代数多项式和三角多项式进行一致逼近。那么，对于不连续的函数，又有什么样的结论呢？

对于代数多项式，我们暂不讨论；而对于三角多项式而言，一般而言也做不到。如果大家已经实际操作过Fejér定理的证明，就会发现，实际上我们利用了闭区间上连续函数的一致连续性。如果这一性质得不到满足，那么证明就不再成立，从而我们也能就明白为什么非连续函数很有可能无法被三角多项式一致逼近。更简单点说，就是：

$%5Csup_%7B-%5Cpi%20%5Cle%20x%20%5Cle%20%5Cpi%7D%7C%20f(x)-T_n(x)%7C%5Crightarrow%200%5Cquad(n%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E)$

在函数的间断点处一般无法被满足。

于是，如果此时我们还想寻求函数的逼近方式，我们只能退而求其次，放宽逼近的要求，以期得到能够逼近的结论；同时，逼近的性质还能比较好，能够让我们处理很多的问题。

这种想法类似于我们上一节介绍的放宽收敛性的思路，所以此时我们要做的，就是重新定义一种逼近方式，使得通常意义下的能够被三角多项式一致逼近的函数在新的定义下仍然能被三角多项式逼近，而通常意义下不能被三角多项式一致逼近的函数有一部分能够在新的意义下做到逼近。

我们在Fourier级数的收敛性中定义的Cesàro求和，实际上就是以部分和序列的平均值作为新的意义下的部分和序列，以其收敛性定义Fourier级数的收敛性。我们吸收借鉴这种平均化的思想，定义一种新的逼近方式，即：

$%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%20%5Crightarrow%200%5Cquad(n%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E)$

（这种平均值可以理解为类似概率论与数理统计当中介绍的残差。）

我们称这种逼近方式为平方平均逼近。

显然，如果函数 $f$ 能够被三角多项式一致逼近，则其一定能被三角多项式平方平均逼近；反之则不一定成立。

此时，我们对要讨论的 $f$ 的要求弱一些，只需满足 $f%5E2$ 在 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上可积且绝对可积。我们将其记为：

$f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$

由于：

$%7Cf%7C%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(1%2Bf%5E2)$

则由比较判别法，我们就知道 $f$ 在 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上一定可积且绝对可积。

我们前面提到过，积分相当于是求函数间的内积。而这一概念实际上对我们讨论平均平方逼近的问题有着重要作用，因此，我们需要引入函数内积的定义：

对任意的 $f%2Cg%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，称积分：

$%5Cleft%20%5Clangle%20f%2Cg%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx$

为 $f$ 和 $g$ 的内积，其性质与向量内积（数量积）类似。有了内积的定义之后，我们进而定义：

$%5C%7Cf%5C%7C%3D%5Csqrt%7B%5Cleft%20%5Clangle%20f%2Cf%5Cright%20%5Crangle%7D%20%3D%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb%20f%5E2(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

称为函数 $f$ 的范数。不难证明，函数的范数与向量的范数之间具有相同的性质。（包括正定性，线性和三角不等式。）

类比于向量的相关知识，当 $f%2Cg%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 满足：

$%5Cleft%20%5Clangle%20f%2Cg%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%3D0$

时，我们称 $f$ 和 $g$ 是正交的。

设 $%5C%7B%5Cvarphi%20_1%2C%5Cvarphi%20_2%2C%5Ccdots%5C%7D$ 是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一个函数系。如果其满足：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cleft%20%5Clangle%20%5Cvarphi_k%2C%5Cvarphi%20_l%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20%5Cvarphi_k(x)%5Cvarphi_l(x)%5Ctext%20dx%3D%0A%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0A0%2C%26k%E2%89%A0l%5C%5C%0A%5Clambda%20_k%2C%26k%3Dl%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

就称其为 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一个正交函数系，简称为正交系；若同时还有 $%5Clambda%20_k%3D1$ ，就称其为规范正交系。

按照这个定义，我们就可以说，三角函数系是一个正交系，而在每一个函数前都乘一个对应的常系数来修正，修正之后的三角函数系就是规范正交系。

于是我们就知道，Fourier级数实际上是函数向一个特殊的规范正交系展开得到的结果。那我们就来思考一下，能否改变展开所面对的函数系，从而定义新的Fourier级数呢？

按照这样的想法，我们定义：

设 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一个规范正交系。对任意的 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，称：

$c_k%3D%5Cleft%20%5Clangle%20f%2C%5Cvarphi_k%5Cright%20%5Crangle%3D%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Cvarphi_k(x)%5Ctext%20dx$

为 $f$ 关于 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 的Fourier系数，由此产生的级数：

$f(x)%5Csim%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5Cvarphi%20_n(x)$

称为 $f$ 向 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 展开成的Fourier级数。

可以想见，此时Fourier级数的收敛性问题，实际上就是序列：

$S_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5Cvarphi_k(x)$

的收敛性问题。我们将形如：

$T_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5Cvarphi_k(x)$

称为n次 $%5Cvarphi%20$ 多项式。

我们现在要问的是，什么样的函数系可以保证可积且绝对可积的函数展开得到的Fourier级数可以被n次 $%5Cvarphi%20$ 多项式平方平均逼近（下面简称为被函数系平方平均逼近）？

我们做一些简单的推导，就可以得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_a%5Eb%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%26%3D%5Cint_a%5Eb%20f%5E2(x)%5Ctext%20dx-2%5Cint_a%5Ebf(x)T_n(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_a%5EbT_n%5E2(x)%0A%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-2%5Cleft%20%5Clangle%20f%2CT_n%5Cright%20%5Crangle%2B%5C%7CT_n%5C%7C%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-2%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5Cleft%20%5Clangle%20f%2C%5Cvarphi_k%5Cright%20%5Crangle%2B%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_i%5Cgamma%20_j%5Cleft%20%5Clangle%20%5Cvarphi_i%2C%5Cvarphi_j%5Cright%20%5Crangle%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-2%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_kc_k%2B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2%20%2B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20(c_k-%5Cgamma%20_k)%5E2%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

如果我们想让 $f$ 能够被函数系平方平均逼近，显然就需要确定一组多项式系数，来使得右侧的最终结果是趋近于0的。在这样的思路启发下，我们不难想到，如果等号右侧的最终结果有一个最小值，且这个最小值能够趋近于0，那么我们的结论也就成立了；而如果等号右侧的结果没有最小值或者最小值做不到趋近于0，那么我们也没办法让函数系能够平方平均逼近原本的函数。

显然，等号右侧最终结果的最小值只在：

$c_k%3D%5Cgamma_k%5Cquad(k%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots%20n)$

时成立，也就是说，只有用于逼近的多项式系数等于对应的Fourier系数的时候，等号右侧的最终结果才能取到最小值。进一步地，我们还有：

设 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ， $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 上的一个规范正交系， $%5C%7Bc_k%5C%7D$ 是为 $f$ 关于 $%5C%7B%5Cvarphi_k%5C%7D$ 的Fourier系数。则有：

（1）

$%5Cforall%20n%5Cin%20N%5E*%EF%BC%8C%5C%7B%5Cgamma%20_k%5C%7D%5Csubset%20%5Cmathbf%20R%EF%BC%8C%5C%7Cf-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cgamma%20_k%5Cvarphi_k%5C%7C%5Cge%20%5C%7Cf-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5Cvarphi_k%5C%7C$

（2）

$%5C%7Cf-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5Cvarphi_k%5C%7C%5E2%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2%EF%BC%8C%5C%7Cf%5C%7C%5E2%5Cge%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2$

（3）

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5E2%5Cle%20%5C%7Cf%5C%7C%5E2$

考虑到平方平均逼近的定义，结合上述的结论（2），我们不难得到：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5Eb%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5C%7Cf-T_n(x)%5C%7C%5E2%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5C%7Cf%5C%7C%5E2-%20%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20c_k%5E2%5Cbigg)%3D0$

也即：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5E2%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2$

也就是说，当且仅当结论（3）中的等号可以取到的时候， $f$ 才可以被函数系平方平均逼近。

我们将结论（2）中的不等式称为Bessel不等式，而将：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20c_n%5E2%3D%5C%7Cf%5C%7C%5E2$

称为Parseval等式或者封闭性方程。

如果一个函数系能够对任意的 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 都满足Parseval等式，就称该函数系是完备的。

现在，我们可以说，对于任意的 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，都能被至少一个完备规范正交系上的 $%5Cvarphi%20$ 多项式平方平均逼近，这个多项式就是 $f$ 向该函数系展开的Fourier级数的部分和。

有了这个结果以后，我们回到原本的Fourier级数上来，我们就要考虑，规范正交三角函数系是否是完备的呢？

答案是显然的，证明就留给各位小伙伴思考啦~

（分别考虑Riemann可积函数和反常绝对可积函数并给出证明即可~）

通过以上讨论，我们最终得到了许多有用的结果：

（1）具有相同三角Fourier级数的两个连续函数，则这两个连续函数在都有定义的部分恒等；

（2）推广的Parseval等式：

设 $f%2Cg%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ ，其Fourier级数分别为：

$f(x)%5Csim%20%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20(a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx)$

$g(x)%5Csim%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20(%5Calpha%20_n%5Ccos%20nx%2B%5Cbeta%20%20_n%5Csin%20nx)$

则有：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cfrac%7Ba_0%5Calpha_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20(a_n%5Calpha_n%2Bb_n%5Cbeta_n)$

我们最后揭示一个十分令人惊讶的性质——Fourier级数的积分收敛性。

事实上，从平方平均逼近的定义来看，利用Cauchy-Schwarz不等式，我们不难得到：

$%5Cint_a%5Eb%20(f(x)-T_n(x))%5E2%5Ctext%20dx%5Cint_a%5Eb1%5E2%5Ctext%20dx%5Cge%20%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb(f(x)-T_n(x))%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5E2$

左右两侧同时关于n取极限，就得到了：

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5EbT_n(x)%5Ctext%20dx$

即：

$%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5Eb%20%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cint_a%5Eb(a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx)%5Ctext%20dx$

那么，到此为止，有关Fourier级数的内容就全部完成了~这也就意味着，整个数学分析部分的内容也就到此为止了……好快啊，突然有点后悔写这么快了（哭）。主要是在写的过程中其实我也倾注了相当多的心血，马上就要完结了，这种感觉就像是有很重要的东西就这么消失了或者被夺走了……有一点小难受，所以就有点不想完结（哭笑不得）。

不过能帮助到大家就好啦！至于新坑，看情况开吧~最后还有一部分Fourier积分与变换的内容，不过我并不打算介绍，可能会单独开一篇以图片的形式展示上去吧~

思考：

写出规范正交三角函数系的通项，并证明这是个完备函数系；
证明有关三角Fourier级数的两个结论；
证明： $%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20c_n%3D0%20$
利用对函数：

$f(x)%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%5Cquad(-%5Cpi%EF%BC%9Cx%EF%BC%9C%5Cpi)$

的Fourier级数，证明：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D%20%20$
证明：设 $a_n%2Cb_n$ 均是 $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 的Fourier系数，则级数：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bn%7D%EF%BC%8C%20%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bb_n%7D%7Bn%7D%20$

均收敛。
证明：级数：

$%5Csum_%7Bn%3D2%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7B%5Csin%20nx%7D%7B%5Cln%20n%7D%20$

在不含2π的区间上一致收敛，但它不是 $%5Cmathbf%20R%5E2%5Ba%2Cb%5D$ 中任意函数的Fourier级数。