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《几何原本》命题1.44【夸克欧氏几何】

2023-06-25 12:35 作者:一粒夸克  | 我要投稿

命题1.44:

可用已知角在已知线段上建一个平行四边形使其等于已知三角形

已知:线段AB,∠D,△C

求:在AB上用∠D建一平行四边形使其等于△C

解:

作▱BEFG,使∠EBG=∠D,S▱BEFG=S△C

(命题1.42)

移动BE接在AB上


过点A作AH∥BG或EF

(命题1.31)

延长FG交AH于点H

(公设1.2)

连接BH

∵AH∥EF

(命题1.30)

∴∠AHF+∠HFE=两直角

(命题1.29)

∴∠BHF+∠HFE<两直角

(公理1.5)

∴HB,FE延长后会在点E,B所在一侧相交

(公设1.5)

延长HB,FE,交点记作点K

(公设1.2)

过点K作KL∥AE或FH

(命题1.31)

延长HA交KL于点L,延长GB交KL于点M

(公设1.2)

证明:S▱ABML=S△C

证:

∵AH∥BG∥EF,KL∥AE∥FH

(已知)

∴四边形HLKF是平行四边形

(定义1.22)

∵KH为▱HLKF对角线,GM,AE交点B在HK上

(已知)

∴S▱ABML=S▱BEFG

(命题1.43)

∵S▱BEFG=S△C

(已知)

∴S▱ABML=S△C

(公理1.1)

∵∠EBG=∠ABM

(命题1.15)

且∠EBG=∠D

(已知)

∴在AB上建立的▱ABML中S▱ABML=S△C且∠ABM=∠D

(公理1.1)


证毕


此命题将在下一个命题中被使用


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