数学方法

对于新的导数参数取值范围讨论的方法 证明过程放在第一步，具体用法放在第二步 一 1 首先假象一个二元不等式f(x,a)>0，此时这个式子即象征着三位曲面，若f(x,a)=0有解，则说明此曲面与xoy曲面有交线所以此时这个交线的方程为 f(x,a)=0———————————————————1 此方程可以看作一个变量的隐函数，即 a=g=g(x)———————————————————2 先对式1进行两边同时求x的导数 得到 ∂f/∂x+∂f/∂a*da/dx=0（用*表示相乘）————————3 此时做出a-x图

由图可知当给定x的定义域并令f(x,a)>0求a的范围时，他的几何意义即g=g(x)正对a轴无面积（注意，不是面积之和为0，是无面积）标点后如下图

图中由于I到J和J到K都正对a轴有面积故此区间不可取即a的最后范围绝对没有(K,I),原因是g(x)是严格意义上的与xoy的交线即交线上至少有一个点等于0，由于题设的不等式没有等号所以直接不符合，就去掉。 下面为了求出a的范围就令 da/dx=0——————————————————5 则3式变为 ∂f/∂x=0———————————————————6 此时有两个方程联立则可以求出I，J，K，在曲线上对应点的坐标即 联立1，6，得到一组或多组x和a的解，简记为{a，x} 由之前的讨论可以知道这组解中a的范围包含了题设的答案。 现在由第二部分讨论和验证这些根的合理性 2 首先根据题意，我们只是令了da/dx=0但是并不能说明他是极值点，还需要验证d da/dxdx即二阶导数的符号，由导数的定义可知导数为0的地方切线水平，由此由两种情况 （1） 此处有“U”型图像 如图

此两种种情况下由于切线的斜率的大小的变化是单调的则此处二阶导数不为0 （2） 此处没有“U”型图像 如图

此处的导数为0点在一般条件下（指x的定义域取到其函数的最大定义域）不是我们要的点所以要去掉，另外我们也注意到这个点的二阶导数为0.这很好思考，由于这俩类的切线斜率大小的绝对值都是先减小后增大则此处二阶导数必为0 综上我们推断出根的验证方法：根处g(x)的二阶导数不为0，但此方法依然有待改进，原因是去掉第二种后，第一种的A情况下a的范围只能区向极值点上方，B情况下a的范围只能取到极值点下方，但由于a取值内函数的任何值都大于0，这要求此处函数关于a的偏导数有所限制。如A种情况，在极值点上方的函数必定是大于0的，由于此处必有一个交点则要求由0到此处函数关于a递增，即∂f/∂a>0,反之对于B种情况要求去极值点的下方，就要下方的函数值是大于0的即此处关于a的偏导数小于0.至此我们发现，此处的符合情况的定义域的g的二阶导数和∂f/∂a异号。 总结出验证方法：满足式子 fxx(x,a)>0（x，a要带入此处坐标）——————————7 的点才是合理的根（备注：此式的结果推导过程如下。因为f(x,a)=0,所以fx(x,a)+fa(x,a)*da/dx=0,所以fxx(x,a)+fxa(x,a)*da/dx+fax(x,a)*da/dx+faa(x,a)(da/dx)^2+fa(x,a)*dda/dxdx=0因为da/dx=0,所以化简为fxx(x,a)+fa(x,a)*dda/dxdx=0即dda/dxdx=(-1)*[fxx(x,a)]/[fa(x,a)],此为g(x)的二阶导数的表达式，根据结论可得他与fa(x,a)异号则dda/dxdx*fa(x,a)<0,化简得到fxx(x,a)>0) 3 计算不等号的方向是取得端点的值后为了得到答案所必须的，不等号的计算如下：由二阶导数的符号可判断是极大值或极小值点，由此得到dda/dxdx>0时，为极小值点，a的范围去此点下方，反之取上方。即 （-1）*[fxx(x,a)]/[fa(x,a)]（x和a代入此处的值）大于（小于）0则取a小（大）于此处的值。 证明结束下面是用法 二 用法很简单 首先联立f(x,a)=0和fx(x,a)=0 把他的解（解是成对出现的，即一个a对一个x，同一个a可对不同x）放到fxx(x,a)里面看是否大于0（一般情况下不取等，此处的“一般情况”和之前的一样）若大于，则为有效解就进行下一步，把解带入到(-1)*[fxx(x,a)]/[fa(x,a)]中，用计算不等号的方法讨论就可得解。（另外的那种特殊情况我下次再写） laoyeFUKO 于2023.6.13