【数学竞赛】阶乘的估计——斯特林公式（上）
在数学中，阶乘大小的估计是一个常见的问题，而阶乘大小的量级也很尴尬。当n充分大时，n！大于任意指数函数，而又小于n^n。
于是斯特林公式（Stirling's approximation）便很好得估计了阶乘的数量级。在本篇文章，我们重点通过分析学方法证明斯特林公式，并给出一些常用结论；在下一篇文章我们重点介绍其在数学竞赛中的运用。
注意：学习本文需要熟练掌握极限、积分基本知识
一、Wallis公式
Wallis公式是证明斯特林公式的前提，也与阶乘有关，在此我们需要引入另一种阶乘符号：
；
。
接下来我们引入定积分
令
利用分部积分：
利用积分性质：
上式
将积分分为两部分
由此
借助
累乘可得：；
而又由序列的递减性质：
得
得
根据夹逼准则得到Wallis公式：
二、Stirling公式
证明斯特林公式需要我们引入序列
这个序列单减且有下界，我们留给读者证明。
接下来，
由Wallis公式：
（以上步骤有些繁杂，读者请自行计算验证）
得
由此可知：与
同阶！
最后我们以两个常用的不等式作为延伸结束文章，请读者将其作为练习自行完成。
（提示：）
①
②
