设而不求，整体代换（第二弹）（2020课标Ⅲ，11）

2023-01-06 12:27 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2020课标Ⅲ，11）设双曲线 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3E0$ ， $b%3E0$ ）的左、右焦点分别为 $F_1$ 、 $F_2$ ，离心率为 $%5Csqrt%7B5%7D$ . $P$ 是 $C$ 上一点，且 $F_1P%5Cbot%20F_2P$ .若 $%5Cbigtriangleup%20PF_1F_2$ 的面积为 $4$ ，则 $a%3D$ （）

A. $1$

B. $2$

C. $4$

D. $8$

解：

如图，设 $%5Cleft%7C%20PF_1%20%5Cright%7C%3Dm$ ， $%5Cleft%7C%20PF_2%20%5Cright%7C%3Dn$ ，

依据题意可得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09c%3D%5Csqrt%7B5%7Da%2C%5C%5C%09m-n%3D2a%2C%5C%5C%09m%5E2%2Bn%5E2%3D%5Cleft(%202c%20%5Cright)%20%5E2%2C%5C%5C%09%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmn%3D4.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$