《几何原本》命题3.3【夸克欧氏几何】

命题3.3：

过一条弦的中点的直径垂直于这条弦，垂直于一条弦的直径过这条弦的中点

已知：圆ABC，其中直径CD,弦AB交于点F

解：

求出圆ABC的圆心点E

（命题3.1）

连接AE，BE

（公设1.1）

当AF=BF时

求证：AB⊥CD

证：

∵点E是圆ABC的圆心

（已知）

∴AE=BE

（定义1.15）

∵AF=BF，EF公用

（已知）

∴△AEF≌△BEF，∠EFA=∠EFB

（命题1.8）

∴∠EFA，∠EFB是直角

（定义1.10）

∴AB⊥CD

（定义1.10）

当AB⊥CD时

求证：AF=BF

证：
∵AE=BE

（定义1.15）

∴∠EAF=∠EBF

（命题1.5）

∵AB⊥CD

（已知）

∴∠EFA，∠EFB是直角

（定义1.10）

∴∠EFA=∠EFB

（公设1.4）

∴△AEF≌△BEF，AF=BF

（1.26）

证毕

此命题将在命题3.4中被使用