等效重力与等时圆的结合

        如图所示，在竖直平面内有一个圆环，直径BC在竖直方向上，圆环内有两根光滑细杆AB、AC，∠ABC = 30°；空间存在水平向右的匀强电场。将质量为m、电荷量为q的小环在A点静止释放，分别沿着两细杆运动时（穿在杆中），加速度分别为、，到达圆周上时的速率分别为、，运动时间分别为、；已知，下列判断正确的是：

    A.小环带负电

    B.电场强度

    C.

    D.

        本题固然可以用常规做法列方程解问题，具体不再写出。但该解法显得过于死板生硬，没有抓住本题的核心，耗费大量时间。下面我们从两个基本模型入手，探究这一题的出题背景。

模型一：等效重力

        例1.在竖直向上以加速度为做匀加速直线运动的电梯中的单摆周期为多少？已知摆长为，重力加速度为。

解：

        在电梯参考系中研究该问题。

        注意到电梯参考系是一个非惯性系，需要引入，题中即为竖直向下的惯性力，即单摆受力为：

    ：绳子拉力，沿绳方向

    ：单摆摆球重力，竖直向下

    ：惯性力，竖直向下

        类比单摆的周期，我们发现这等效于单摆受到一个竖直向下的力，从而

       例2.如图，在电场强度为的水平匀强电场中，以初速度竖直向上释放一个质量为、带电量为的带电小球，求小球运动过程中的最小速度。

解：

        如图，作出合外力示意图，可认为小球仅受到，做斜抛运动。故

        例3.如图，在电场强度为的水平匀强电场中，在最低点静止释放一个质量为、带电量为的带电小球，小球受到绳长为的绳子牵连，运动过程中不撞击天花板，求小球运动过程中摆过的最大角度。

解：

        一方面，我们可以考虑合外力做功等于动能增量：

        解得

        即

        另一方面，该题与例2类似，由对称性，

模型二：等时圆

        例1.求证：小环从圆上不同点静止释放沿光滑杆到达圆的最低点所用的时间相等。

证明：

        如图，设圆半径为，则有：

        与无关，故小环从圆上不同点静止释放沿光滑杆到达圆的最低点所用的时间相等。

        # 以上为等时圆模型1

        例2.求证：圆的最高点静止释放的不同小环，经过相同时间，在任意时刻必将会构成一个圆。时间越长，构成的圆半径越大，但它们都有一个相同的最高点。

证明：

        先证第一部分。如图，设圆半径为，仍有：

        故圆的最高点静止释放的不同小环，经过相同时间，在任意时刻必将会构成一个圆。

        又有：

        故时间越长，构成的圆半径越大。

        # 以上为等时圆模型2

        例3.如图所示，、是竖直平面内两根固定的光滑细杆，、、、位于同一圆周上，点为圆周的最低点，点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），将两滑杆同时从、处由静止释放，用、分别表示滑环从到、到所用的时间，则________。

    A.

    B.

    C.

    D.无法确定

解：

        根据等时圆模型1、2，选A。

        回到原题，即为等时圆模型与等效重力的综合应用。

        综合以上两个模型，容易看出：

        小环带正电，A错。

        ，B对。

        C、D显然错误。

        故选B。