A-1-2抛体运动(2/2)

2023-08-28 14:13 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

1.2.3 经过固定点

斜抛物体经过某固定点 $A(a%2Cb)$ 时，不同抛射角对应不同的初速度，下面我们来求解所需的最小速度。我们将起点和 $A$ 点相连，转化为斜面上的运动，则可以直接引用上一节的结论，此时

$%5Ctan%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20$

1.轨迹方程

$gx%5E2%5Ctan%5E2%5Calpha-2v_0%5E2x%5Ctan%5Calpha%2B(gx%5E2%2B2v_0%5E2x%5Ctan%5Ctheta)%3D0$

整理成 $%5Ctan%5Calpha$ 的函数后，跟上一节一样的想法，每一个落点，对应两个不同的抛射角，且两个抛射角相等时，抛射速度最小。由

$x%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2(1-%5Csin%5Ctheta)%7D%7Bg%5Ccos%5Ctheta%7D$

得

$v_%7B0min%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bgx%5Ccos%5Ctheta%7D%7B1-%5Csin%5Ctheta%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bga%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D-b%7D%7D%3D%5Csqrt%7Bg(%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%2Bb)%7D$

2.沿斜面分解

得到

$x%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%5B%5Csin(2%5Calpha-%5Ctheta)-%5Csin%5Ctheta%5D%7D%7Bg%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$

后，结论同上。

3.包络线

将 $(a%2Cb)$ 直接代入包络线方程，对应速度即为最小速度。

4.矢量图

跟上一节类似的想法，射程一定时， $BD%5Ccdot%20AD$ 为定值，且 $%5Cangle%20ADB$ 为定值，要使得 $AB$ 最小，则 $AD%3DBD$ ，之后所得结论同上。

5.函数思想

得到

$(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)%5Cdfrac%7Bg%7D%7B2v_0%5E2%7Dx%5E2%2B(%5Ctan%5Ctheta-%5Ctan%5Calpha)x%3D0$

后，表示为

$v%5E2_0%3D-%5Cdfrac%7B(1%2B%5Ctan%5E2%5Calpha)gx%7D%7B2(%5Ctan%5Ctheta-%5Ctan%5Calpha)%7D$

然后对 $%5Ctan%5Calpha$ 求导求最值。由于求导是所有最值问题的通法，本篇只在此介绍一次，当求导计算比较复杂的时候，可以选用其他方法。

1.2.4 其他最值问题

抛至平台

从地面上一点以一定的初速度斜抛物体，落到高度为 $h$ 的平台上，求最大射程。

平台对应的曲线方程为 $y%3Dh$ .轨迹方程和包络线的方法同上，矢量图的方法有所区别：

此时实际位移方向不再恒定，但初末高度差为定值。

由能量守恒：

$v%5E2%3Dv_0%5E2-2gh$

(也可由运动方程得： $v%5E2%3Dv_x%5E2%2Bv_y%5E2%3Dv_x%5E2%2Bv_%7B0y%7D%5E2-2gh%3Dv_0%5E2-2gh$ )。 $%5Ctriangle%20ABC$ 面积

$S%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAE%5Ccdot%20BC%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dv_0%5Ccos%5Calpha%20gt$

与水平射程 $v_0%5Ccos%5Calpha%20t$ 成正比。水平射程最大时，三角形面积最大。

则问题转化为： $AB%2CAC$ 长度不变，求 $%5Ctriangle%20ABC$ 面积的最大值。易知此时 $v_0%5Cperp%20v$ ，

$x_%7Bmax%7D%3D%5Cdfrac%7B2S%7D%7Bg%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0v%7D%7Bg%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5Csqrt%7Bv_0%5E2-2gh%7D%7D%7Bg%7D$

注：如果是从屋顶往下斜抛，将 $h$ 改成 $-h$ 即可。

经过两固定点

如果起点固定，加上另外两固定点 $A%2CB$ ，斜抛轨迹就唯一确定。所以这类问题，起点是不固定的，我们只讨论起点在水平面上的情况。

地面与 $A$ 点高度差一定，由于能量守恒，当物体初速度最小时，对应 $A$ 点的速度一定也最小，问题就转化为：从 $A$ 点抛出物体经过 $B$ 点，求 $A$ 点最小速度，求出 $A$ 点速度和抛射角之后，再反推回 $A$ 点的速度即可。

如图所示，一仓库髙25m ，宽40m.今在仓库前l 、高5m 的 $A%20$ 处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离 $l%20$ 为多大时（单位：m ），初速度 $v_0$ 之值最小？ $(g%3D10m%2Fs%5E2)$

假设屋顶左端为 $A$ ，右端为 $B$ ，初速度最小时，石块刚好经过 $A$ 和 $B$ .由能量守恒， $v_0$ 最小时，经过 $A$ 点速度也最小，问题转化为从 $A$ 点斜抛到 $B$ 点的最小速度，竖直运动时间

$t%3D%5Cdfrac%7Bv_A%5Csin%5Calpha%7D%7Bg%7D$

水平射程

$s%3D2v_A%5Ccos%5Calpha%20t%3D%5Cdfrac%7Bv_A%5E2%5Csin2%5Calpha%7D%7Bg%7D.v_%7BAmin%7D%3D%5Csqrt%7Bgs%7D%3D20m%2Fs$

对应抛射角 $%5Calpha%3D45%C2%B0$ ，将过程反演，看成石块从 $A$ 点往左下方斜抛，水平和竖直速度均为 $10%5Csqrt%7B2%7Dm%2Fs$ ，代入竖直位移方程

$20%3D10%5Csqrt%7B2%7Dt%2B5t%5E2$

得

$t%3D(%5Csqrt%7B6%7D-%5Csqrt%7B2%7D)s$

$l%3Dv_xt%3D20(%5Csqrt%7B3%7D-1)m.$

经过曲面

轨迹方程

斜抛刚好经过曲面时，对应轨迹刚好与曲面相切，联立轨迹方程和曲线方程，“相切”=“重根”。得到根的判别式方程，之后分析过程同上。

包络线

如果物体是从固定点斜抛，当轨迹刚好与曲面相切时，包络线也刚好与曲面相切，联立包络线和曲线方程，也可以求解。

一物体从半径为 $R$ 的球面顶端斜抛，求不与球面相碰的最小速度。

以抛出点为原点，联立圆的方程和包络线方程

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%5E2%2B(y%2BR)%5E2%3DR%5E2%5C%5C%20y%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7B2g%7D-%5Cdfrac%7Bgx%5E2%7D%7B2v_0%5E2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

得

$%5Cdfrac%7Bg%5E2%7D%7B4v_0%5E4%7Dx%5E4%2B(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7BgR%7D%7Bv_0%5E2%7D)x%5E2%2B(%5Cdfrac%7Bv_0%5E4%7D%7B4g%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7BRv_0%5E2%7D%7Bg%7D)%3D0$

令 $%5CDelta%3D0$ ，得

$v_%7B0min%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BgR%7D%7B2%7D%7D$

1.2.5 练习

如图所示，一人做射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上（已知水平线离地面高度为 $h$ ，枪与靶相距为 $d$ ，子弹发射速率为 $v_0$ ，且 $%20v_0%3E%5Csqrt%7Bg(h%2B%5Csqrt%7Bh%5E2%2Bd%5E2%7D)%7D$ . 求圆心高度 $y$ 和圆的半径 $r$ .