嵌入定理

R^3的一个子集S称为占有最广位置，如果S中没有三点共线且没有四点共面。这样的点集是容易找到的。例如，曲线    S={(t,t^2,t^3)｜t∈R}上的点集就占有最广位置.  因为如果有四个点位于同一平面Ax+By+Cz=D上，那么多项式方程  At+Bt^2+Ct^3=D将有四个不同实根！如果有三点共线，那么可以取S中另外一个点，获得位于同一平面上的四个点。

定义  R^N中的一个点集{x0,x1,…,Xk}称为几何独立的或仿射独立的。如果等式 ∑aixi = 0 （i=0，…，k）和∑ai=0(i=0，…k）仅在每一个ai=0时才成立。

定义  设{x0,…,xk} 为R^N中的一个几何独立点集，由这些点确定的平面P定义为R^N中所有满足以下条件的点x构成的集合；

x=∑tixi  （i=0，…，k）  其中  ∑ti（i=0,…，k)=1。

定义 R^N中的一个点集A称为在R^N中占有最广位置，如果A的每一个含有N+1个点或者少于N+1个点的子集都是几何独立。

引理    给定R^N的一个有限点集{x1,…，xn}和δ>0,存在R^N中占有最广位置的一个点集{yi,y2,…yn}，使得对于所有的i，有 |xi-yi |<δ

嵌入定理   每一个拓扑维数为m的紧致可度量化空间X都可以嵌入到R^2m+!中。