《几何原本》命题3.7【夸克欧氏几何】

命题3.7：

如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，那么该点向圆上所引的线段中，圆心所在的一段最长，同一直径余下的一段最短，在其余的线段中，与圆心所在连线的夹角较小的线段较短，所引连线中只有两条相等的连线各在最短连线的一边

已知：圆ABCD，直径AD，点E为圆ABCD的圆心，点F在ED上，从点F引线段BF,CF,GF，其中∠BFA＜∠CFA＜∠GFA

求证：点F向圆ABCD上所引的线段中，AF最长，FD最短，BF＞CF＞GF

解：

连接BE，CE，GE

（公设1.1）

证：

∵点E是圆ABCD的圆心

（已知）

∴AE=BE

（定义1.15）

∵△BEF中，BE+EF＞BF

（命题1.20）

∴AE+EF＞BF

（公理1.1）

∵AE+EF=AF

（已知）

∴AF＞BF

（公理1.1）

同理可证，其它线段都小于AF

∵点E是圆ABCD的圆心

（已知）

∴GE=DE

（定义1.15）

∵△EFG中，GF+EF＞GE

（命题1.20）

∴GF+EF＞DE

（公理1.1）

∴GF＞DF

（隐藏公理）

同理可证，其它线段都大于DF

∵点E是圆ABCD的圆心

（已知）

∴BE=CE

（定义1.15）

∵EF公用，∠BEF＞∠CEF

（公理1.5）

∴BF＞CF

（命题1.24）

同理可证，CF＞GF

求：在AD另一侧，从点F向圆上引一条线段使其等于GF

解：
在EF上以点E为顶点在AD另一侧作∠FEH=∠FEG，与圆ABCD的交点记为点H

（命题1.23）

连接HF

求证：GF=HF，且所引线段中除FH外没有别的线段与GF相等

证：
∵点E是圆ABCD的圆心

（已知）

∴GE=EH

（定义1.15）

∵∠FEH=∠FEG，EF公用

（已知）

∴△EFG≌△EFH，GF=HF

（命题1.4）

设所引线段中还有KF=GF，其中∠KFA＜∠HFA

∵∠KFA＜∠HFA

（已知）

∴KF＞HF

（已证）

∵KF=GF，GF=HF

（已知）

∴KF=HF

（公理1.1）

∴大的等于小的这是不可能的

∴所引线段中除FH外没有别的线段与GF相等

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用

隐藏公理：如果X＞Y，那么X-Z＞Y-Z，这一性质未出现在本书的公理中。