2023广州中考平面几何大题，考的太难了吧

这个题用初中方法做辅助线作答的解法已有很多。辅助线繁多看得人眼花缭乱。试用解析法建系直接算：

(1)∠ABF=∠EBF-∠ABE=∠EBC-∠ABE=∠ABC-2∠ABE=90°-2*15°=60°

AB=BC=BF

则△ABF是顶角为60°的等腰△，即为等边△

(2)

①
以B为原点，BC和BA分别为x和y轴，建立平面直角坐标系
不失一般性，令AB=BC=1
则A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，D(1,1)
令AE=x0，则E(x0,1)
BE方程：y=1/x0*x
令F(x1,y1)，则：
BF=BC=1：√(x1^2+y1^2)=1
CF⊥BE：y1/(x1-1)*1/x0=-1
解得：x1=(x0^2-1)/(x0^2+1)，y1=(2x0)/(x0^2+1)
则F((x0^2-1)/(x0^2+1),(2x0)/(x0^2+1))
AF方程：y-1=((2x0)/(x0^2+1)-1)/((x0^2-1)/(x0^2+1))x
即y=(1-x0)/(1+x0)x+1
联立AF与BE，解得：
G(x0(x0+1)/(x0^2+1),(x0+1)/(x0^2+1))
△BGF≌△BGC(SAS)
若要△BGC为等腰△，则G必须在BC中垂线上，即横坐标为0.5
解得x0=-1+√2，此时∠ABE=arctan(-1+√2)=22.5°
②
S△BGF=S△BGC=1/2|向量BC×向量BG|
=1/2|(1,0)×(x0(x0+1)/(x0^2+1),(x0+1)/(x0^2+1))|
=1/2|(0,0,-(x0+1)/(x0^2+1))|
=(x0+1)/(2(x0^2+1))
求导得：
dS/dx0=(-x0^2-2x0+1)/(2(x0^2+1)^2)
由于分母恒大于0，分子是个开口向下的二次函数，所以
dS/dx0在(-∞,-1-√2)上＜0，在(-1-√2,-1+√2)上＞0，在(-1+2√2,+∞)上＜0
所以S在(-∞,-1-√2)上单减，在(-1-√2,-1+√2)上单增，在(-1+2√2,+∞)上单减
由于x0取值范围是(0,1)，所以Smax=S(-1+√2)=1+√2
注意到题目要求AB=√3+√6，则可把原面积看做无量纲化的面积，取特征长度Lc=√3+√6
则在此特征长度下把无量纲面积转化为有量纲面积S=Smax*Lc^2=(1+√2)*(√3+√6)^2=21+15√2

区区一个中考题，要么狂做辅助线，要么建系硬算。最后结果还不能直接用二次函数配方，只好求导。原题给了个这么恶心的边长，要是不会量纲分析的话还得带着这个边长到处算。真的吐了。