高维微分学-教与学计划（第05-07学周）

2023-04-02 12:15 作者:复旦力学-谢锡麟 0人读过 | 我要投稿

本文件承接《高维微分学-教与学计划（第01-04学周）》

§ 05 第05周

§ 05-online 线上学习内容

（1）逆映照定理的分析 ① 基于隐映照定理，获得逆映照定理。② 微分同胚的定义，隐映照定理亦称为局部微分同胚存在性定理；基于局部微分同胚存在性定理可获得全局微分同胚存在性定理（充分必要条件）。

（2）微分同胚的意义 微分同胚提供了将“不规则区域”（物理域）变化为“规则区域”（参数域）的一般方法，籍此可以将发生在物理域上的事件“等价性”地转换为参数域上的事件，具体为将物理域上的偏微分方程转换为参数域上的偏微分方程；逆映照定理提供了全部的细节需要。

§ 05-offline 线下讲授与讨论内容

（1）方程变化的方法 ① 自变量变化的两种形式及其处理方法。② 因变量变换的一般形式及其处理方法。

§05-教学视频

线上学习高维微分学微分同胚

分析

应用

线上学习高维微分学方程变换的思想与方法

思想阐述

方法阐述

基于微分同胚

基于因果分解

经典变换

线下研讨高维微分学方程变换的事例

§ 07-习题文件

§ 07-知识图示化

§ 06 第06周

§ 06-online 线上学习内容

（1）无限小增量公式及有限增量公式 ① 基于直线单参数化，获得多元函数的无限小增量公式及有限增量公式都是将自变量变化限制在直线段上，由此应用一维函数的无限小增量公式及有限增量公式，并结合复合映照的可微性定理，可获得相关结论。②多元函数的无限小分析方法，亦即获得多元函数的局部意义下的高阶多元多项式逼近的实际方法。

§ 06-offline 线下讲授与讨论内容

（1）多元函数的无限小分析方法 ① 基于直线单参数化，获得方向导数形式的多元函数的无限小增量公式。② 多元函数的高阶多元多项式逼近的唯一性。③ Landau符号的性质。④ 基于多元函数的高阶多元多项式逼近的唯一性，说明实际获得复杂多元函数的高阶多元多项式逼近的间接性方法。⑤多元函数展开至二阶的几何意义，结合线性代数中二次型理论获得函数等高线的类别判定。⑥ 多元函数极值类别的判定。

§ 06-教学视频

线上教学高维微分学无限小展开与有限展开

无限小展开方法

有限展开方法

有限增量估计

事例-无限小展开

§ 06-习题文件

§ 06-知识图示化

§ 07 第07周

§ 07-online 线上学习内容

（1） 约束上最值问题 ① 基于隐映照定理，将约束上的极值问题化成自由极值问题：一般约束方程可理解为m维Euclid空间中k维曲面（1<k<m）的隐式表示形式；由于目标函数定义在曲面（约束）之上，通过曲面的局部Monge型表示，故原目标函数等价于直接定义在曲面定义域上的函数。② 基于矩阵形式的链式求导，获得约束上极值点的控制方程。③将约束上的分布/标量场展开至二阶，以此研究约束上极值点的类别。就此过程，推导出 Lagrange条件极值的系统性处理方法（Lagrange乘子法）。② 其它应用。

（2）约束上最值问题的相关应用 ① 获得相关不等式。

§ 07-offline 线下讲授与讨论内容

（1）约束上最值问题的处理方法

（2）约束上最值问题的应用事例

§ 07-教学视频

线上学习高维微分学最值问题的处理方法