【笔记】【数分】区间与邻域

一、区间

例如：在数轴上边任取不同的两点a、b，a与b两点之间(不一定包含a、b两点)的全体实数构成的集合，就是区间。

区间包含有限区间和无限区间。

开区间的定义：

设a，b属于R，且a<b，称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)。

闭区间的定义：

设a，b属于R，且a<b，称数集{x|a<=x<=b}为闭区间，记作[a,b]。

半开半闭区间的定义：

设a，b属于R，且a<b，称数集{x|a<x<=b}和{a|a<=x<b}为半开半闭区间，分别记作[a,b)和(a,b]。

开区间、闭区间和半开半闭区间统称为有限区间。

符号∞读作“无穷大”，+∞读作“正无穷大”，-∞读作“负无穷大”。

满足x>=a的全体实数x的集合记作[a,+∞)，类似的我们记(-∞,a]={x|x<=a}，(a,+∞)={x|x>a}，

(-∞,a)={x|x<a}，(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}=R。

以上几种区间都称为无限区间。

二、邻域

邻域有点a的δ邻域、δ左(右)邻域、空心δ邻域、∞邻域等概念。

定义·点a的δ邻域：

设a属于R，δ>0.满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合，称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或者简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a-δ)。

定义·点a的δ空心邻域：

设a属于R，δ>0.满足绝对值不等式0<|x-a|<δ的全体实数x的集合，称为点a的δ空心邻域，记作U^o(a;δ)，或者简单地写作U^o(a)，即有U^o(a;δ)={x|0<|x-a|<δ}=(a-δ,a)∩(a,a+δ)。

U(a,δ)和U^o(a,b)的区别在于：后者不包含点x=a。

点a的δ右邻域：U+(a;δ)=[a,a+δ)。

点a的δ左邻域：U-(a;δ)=(a-δ,a]。

上述两个邻域去掉点a以后，分别为点a的空心δ右、左邻域。

若M为充分大的正数，则有以下定义：

∞邻域：U(∞)={x||x|>M};

+∞邻域：U(+∞)={x|x>M};

-∞邻域：U(-∞)={x|x<-M}.

区间和邻域都是数的集合(数集)。

数学符号：

∞：表示无穷大。

δ：第4个希腊字母，读音是德尔塔，大写为Δ。类似的希腊字母有：