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实变函数漫谈(18)积分

2023-07-26 05:18 作者:南海之声sonnet耳放  | 我要投稿

先考虑定义域有限测度的有界函数的积分，给定一个测度空间(X%2CR%2C%5Cmu)，一个定义在E%5Cin%20R上的实变函数函数f，假定值域在区间%5Bl%2Cu%5D内，将%5Bl%2Cu%5D进行分段，考虑每一段f%5E%7B-1%7D%5Bl_k%2Cl_%7Bk%2B1%7D),考虑到f是可测函数，f%5E%7B-1%7D%5Bl_k%2Cl_%7Bk%2B1%7D)%5Cin%20R,所以可以取两个求和

%E4%B8%8B%E5%92%8C%EF%BC%9A%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20l_kE(f%5E%7B-1%7D%5Bl_k%2Cl_%7Bk%2B1%7D))%2C%E4%B8%8A%E5%92%8C%EF%BC%9A%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20l_%7Bk%2B1%7DE(f%5E%7B-1%7D%5Bl_k%2Cl_%7Bk%2B1%7D))

这两个求和会不会相等？答案是肯定的，考虑两个个分组D%EF%BC%8CD%5E%5Cprime,后者比前者更精细，显然下和会变大，上和会变小，但是下和永远小于上和，事实就是上和和下和的差会无限小吗，为什么？所以这种积分的定义方式是合理的，也是符合直观的。



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