行测—数量关系04—牛吃草与容斥问题

一、牛吃草

抓住存量、草长效率和净消耗量，三个关键数据，然后三步走解题。

【例题1】（2020浙江）

火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？

1、白吃牛（草长效率）（本题中为每分钟增加排队购票的人数）

排队增速=增长差额/时间差=（3×90-5×45）/（90-45）=1（人/分钟）

这里3×90的含义是，3个窗口在90分钟的时间内，所办完的整体业务量，即原有排队量＋90分钟增量。

5×45的含义是，5个窗口在45分钟的时间内，所办完的整体业务量，即原有排队量+45分钟增量。

所以这个“白吃牛”，实际上就是算出增速，这里的1代表的是，每分钟增加的排队人数，也就是说，我们每分钟需要一个窗口去为每分钟增加的排队人数办理业务，而剩下的窗口用来为原有排队人数办理业务。

2、原有草（原有存量）（本题中为原来有的排队人数）

原有排队人数=（3-1）×90=（5-1）×45=180（人）

3、现用时（现在所需耗时）（本题中为开放6个窗口时，办理完180人所需要的耗时）

耗时=存量/净消耗量=180/（6-1）=36（分钟）

我们已知现在开放了6个窗口，其中1个窗口（白吃牛）要用来专门处理每分钟增加的排队人数，即只有5个窗口是负责为原有排队人数（原有草）来办理业务的。

二、容斥问题

总人数-圈外人数=圈内总人数=总人次-重复部分

容斥原理：在先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目减掉，使得计算结果既无重复又无遗漏。

1、两集合

若把A、B两个集合分别看做是红色和蓝色两张大饼，那么纯红、纯蓝部分都是一层大饼，A∩B（即黄色圆圈部分）就是两层大饼。那么所谓无重复又无遗漏的情况，圈内总人数（饼的覆盖面积）=A+B-A∩B，即保障我们所有的图形范围都是一层大饼。

【例题2】（2020联考）

学校有300个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时参加，如果80%的学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？

核心公式：总人数-圈外人数=圈内总人数=总人次-重复部分

总人数-0=圈内总人数=地理兴趣小组人数+生物兴趣小组人数-同时参加地理和生物两个兴趣小组的人数

总人数=圈内总人数=A+B-A∩B

300=240+150-X⇒解得X=90（人）

2、三集合

若我们把A、B、C三个集合分别看作是红色、蓝色、黄色三张大饼，那么A∩B-A∩B∩C（红色和蓝色两色重叠的部分）就是有两层饼，同理A∩C-A∩B∩C（红色和黄色两色重叠的部分）和B∩C-A∩B∩C（黄色和蓝色两色重叠的部分）也是两层饼。只有A∩B∩C（即红色、蓝色和黄色三色重叠的部分）是三层饼。

那么所谓无重复又无遗漏的情况就是

圈内总人数（饼的覆盖面积）=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C，这个公式就代表着所有的区域都是一层饼。

A∩B黄色线框部分，A∩C是蓝色线框部分，B∩C是红色线框部分，把这三个部分都减掉的话，那么A∩B∩C的三层饼就全部被减掉了，就成了空的了，所以在最后我们要把这个部分的饼再补上一层。

【例题3】（2020新疆）

某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3中期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅者三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？

核心公式：总人数-圈外人数=圈内总人数=总人次-重复部分

总人数-17=圈内总人数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

240-17=圈内总人数=125+126+135-57-73-X+31

⇒解得X=64

3、多集合

无论是考察多少个部分框在一起，我们就是把握一个原则即可

“总人数-圈外人数=圈内总人数=总人次-重复部分”

【例题4】（数据随机写的，不保证人数为整数，主要是体会解题思维）

某次公考培训班共有40名学生，其中报名言语理解班的有22人，报名判断推理班的有28人，报名资料分析班的有31名，报名数量关系班的有25名，其中报三科的人数与报两科的人数相等，比报四科的人数少3人，请问报一科的有多少人？

根据公式可列出两个等式，在此可设报一科有Y人，报两科有X人

总学生数=报言语班人数+报判断班人数+报资料班人数+报数量班人数-报两科人数-2×报三科人数-3×报四科人数……①

⇒40=22+28+31+25-X-2X-3（X+3）⇒由此可解出X

总学生数=报一科人数+报两科人数+报三科人数+报四科人数……②

⇒40=Y+X+X+X+3⇒代入X，由此可解出Y

这里我们可以借三集合图形拓展理解一下上面列出的②式

若把A、B、C看成分别报言语、资料、判断三门功课的学生，那么所有单色部分就是报一科的人数，所有双色重叠部分就是报两科的人数，所有三色重叠就是报三科的人数。所以，学生总人数=报一科人数+报两科人数+报三科人数