这里是官方认证的优秀科代表渡鸦~解三角形“范围与最值”，总之一句话：消元！

Part 1：余弦定理X基本不等式

三边一角用余弦定理，角化边。

余弦定理解最值问题的基本套路，就是先找边角关系，然后用基本不等式放缩求范围。

小试牛刀：

首先我们用三边关系消掉一个边（b）变成ac两个边的式子。然后再用基本不等式求最值。

事实上，余弦定理的求最值都是这个套路。我们再看几道熟练一下。

看到三边关系肯定余弦先化，得到了cosB与ac的关系。那么这个面积我们就要保留一个角B了，用1/2 acsinB去代， 又得到了sinB和ac的关系。

这时我们很自然的想到去求ac的值，用sin^2 B+cos^2 B=1，得到ac=25。

最后求周长，先用条件消掉一个元b，再用基本不等式求极值，轻轻松松。

【扩展】海伦-秦九韶公式

令p=(a+b+c)/2。则面积S=根号[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]。

但这其实并不重要

看道高考真题。

用余弦定理解题并不意味着条件不用正弦定理代换。角化边后还是得到abc的一些关系，而这题c又已经给出，所以我们得到了关于ab的一个等式。

由于要求周长，我们把它化为a+b的形式，然后就是无脑基本不等式啦。

总结：

余弦定理一般用于所求系数相同（对称）的情况，最为常见的是面积与周长。

那么，系数不同，例如2a+b该怎么求呢？这就是正弦定理啦。

Part 2：正弦定理X三角恒等变换

与余弦定理相反，我们将边化角。

正弦定理基本思路：边化角，然后用三角恒等变换化成单变量（角）形式。在用函数手段求范围。

看一道简单例题引入。

这个题根本没有给我们边的条件。所以一定要用正弦定理化角。我们把角C换成角A，最后得到一个只与A有关的三角函数。然后就是上学期的求范围了。

含边的齐次式也可以用正弦定理。

这题余弦不好化，而条件的边又是齐次式，我们把它化成sin值，然后再化简。经过一番三角恒等变换。它变成了一个类似于对勾函数的东西。注意要看一下角的范围能不能取到。

同样，我们也可以用余弦定理化简式子。上面这题是一个定弦定角的模型，正弦定理的比值就出来了。然后我们就可以用角的三角函数表示边，最后继续恒等变换。