在化学考试中，我们常常遇到这样的计数问题：

除了按照化学老师的方法计数之外，其实我们还有另一条路，那就是利用组合数学中常见的环排列。

线排列

将n个不同元素排列在一条线上，共有多少排法?答案显然是n!，即n的全排列。

但这在解决实际问题中还不够。若n不是两两不同的，这里写做重集如下：

这表示共有i类（a1,a2...ai），其中第j类有nj个。这个结果我们记作：

证明：考虑总共n个空位，先在其中放入n1个a1，放法有C（n,n1），继续放n2个a2，又有C（n-n1,n2）......以此类推，最终共有：

环排列与

例1.单词MISSISSIPPI中的字母可以有多少种排列？

答：L{1*M,4*I,4*S,2*P}=11!/1!4!4!2!=34650.

圆排列与环排列

圆排列，指将n个元素排列在一个环上。与线排列的区别在于，我们认为(1,2,3,4),(4,1,2,3),(3,4,1,2),(2,3,4,1)这种轮换的结果视作同一个环。

其实通过刚才的例子，已经不难看出，环排列(1,2...n)与其轮换所得n个线排列的集合一一对应。因此我们说C＝L/n.

但在推广到一般情况的过程中，我们遇到了麻烦：

例如组合{2*a,2*b}，简单实验会发现并不能以此计算。这是因为：（a,b,a,b）的轮换出现了循环，只能与2个线排列的集合{(a,b,a,b),(b,a,b,a)}对应。为了解决此麻烦（所幸实际计算中并不常见，当所有nj最大公约数为1时，你可以放心地沿用这个简单方法），我们需要更复杂的数学讨论。以下内容需要一定的初等数论基础，同学们也可直接选择跳过。(在最后的结论部分，我会将所有例外情况列出。)

定义：若线排列可以分成完全相同的d段，则称d是这个排列的循环频率。n/d=t为循环节长度。

引理1：以d为循环频率的线排列个数有：

证明：显然。取一个循环节用线排列公式即得。

引理2：设gcd(n1,n2...ni)=p,则以d为最大循环频率的个数有：

证明：用容斥原理。需要排除的元素最大频率均可写做qd,其中q整除n/d.因此设n/d有s个不同质因数r1,r2...rs.Ak指q中含有因数rk的元素的集合.那么：

类似地定义圆排列的循环频率和循环节长度。那么循环节长t的圆排列对应着t个循环节长t的线排列。

于是就得到了可重圆排列的公式：

例2.有3位绅士，6位小姐环坐成一圈，一共有多少种排列方式？

解：p=(3,6)=3.所以有两项，d=1,3.

例3.用3枚绿宝石，6枚蓝宝石串一个项链，一共有多少种排列方式？

本例看起来同例2一样，其实有所区别：项链除了旋转之外，还可以翻转。也就是顺时针与逆时针排列视作是一样的。这种排列就叫环排列。我们所研究的苯环排列正属此类。

例如，圆排列（1,2,3,4）≠（4,3,2,1），而在环排列R中它们相等。在不可重集中，R=C/2.

而在可重集中，不难发现，本身对称的圆排列只对应一个环排列。设这样的圆排列有S个，R=(C+S)/2.

定理1：当ni中有多于两个奇数时，S=0.

证明：若存在一个对称圆排列，则对称轴两侧的元素完全相同，每一类ai的个数均为偶数。再考虑轴上：

（1）没有元素，则所有ni均为偶数。

（2）有一个元素as，则ns为奇数，其余ni为偶数。

（3）有两个元素as,at，或者s=t，所有ni均为偶数；或者s≠t，ns,nt为奇数，其余ni为偶数。

综上，ni中至多只有两个奇数。命题得证。

接下来再考虑S的具体值。

(1)有两个ni为奇数时，必然以二者为对称轴。取一半圆处理，等价于剩下元素的线排列。

(2)有一个ni为奇数，同理。

(3)所有ni均为偶数，则或者(i)轴上有两个相同元素，或者(ii)没有元素。应该注意这时S并不等价于一个半圆线排列，因为旋转180度将会得到一个等价的对称环排列，但却会得到不同的线排列。(而前面不会有这个问题，是因为旋转改变了对称轴，所得两个环排列也不等价)事实上，(i)和(ii)各自等价于那个环排列的一半。

上述讨论可以用这张图解来直观地理解：

因此我们得到：

定理2：当ni中的奇数不多于两个时，

故例3的答案是：

至此我们完全解决了可重环排列问题。可喜可贺！

结论

对于重集，当gcd(a1,a2,...,ai)=1时，R=(C+S)/2,C=L/n，利用L和S的公式可计算R.

例4.苯环{4·H,1·Cl,1·Br}的同分异构体有多少种？

答：L=30,C=5,S=1,所以R=3（即常说的邻间对三种）

而gcd不为1时，C的计算更为复杂，现将所有特例列举如下：

{4·H,2·X},C=3,R=3

{2·H,2·X,2·Y},C=16,R=11

{3·H,3·X},C=4,R=3

{6·H}（这还用数？）,C=1,R=1

我们的有（组）机（合）化（数）学（学）小课堂就到这里，祝同学们学习进步！( ˙˘˙ )