《逻辑学》笔记3——命题逻辑之命题推理
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一、推理概论
（一）什么是推理
推理是由若干命题得出一个命题的思维过程
推理是一个命题序列，其中，由推理得出的命题称为结论，其他的命题称为前提，推理提供前提对于结论的证据支持关系。
支持关系回答的问题是：前提的真，在多大程度上能保证结论的真。
必然性推理：能够提供百分百证据支持度的推理称之为必然性推理
或然性推理：不能够提供百分百证据支持度的推理称之为或然性推理
一般来说，演绎推理是必然性推理，归纳推理、类比推理等是或然性推理。
（二）推理的有效性和其判定
命题有真假之分，推理有对错之分
推理的有效是针对推理的性质结构而言的，因此推理的有效性也被称为形式有效性。
一个推理是有效的，当且仅当，具有这一推理的任意推理（即其推理形式的任意解释）都不出现前提真而结论假的情况。
显然，解释的办法只能判定一个推理的无效，而不能判定一个推理的有效，因为一个推理形式的解释是不可能穷尽的。
推理有效性是逻辑学的中心课题
（三）命题推理及其有效式
在命题逻辑中，我们只研究命题推理。
命题推理：依据命题之间的逻辑关系进行的推理，原子命题被当做最基本的单位，而对命题内部的结构不再分析。
命题推理的推理形式：只包含命题变项和联结词的真值形式
命题推理的真值形式是一蕴含式——前提的合取 蕴涵 结论
一命题推理是有效的 当且仅当 它的真值形式是重言的蕴含式
二、几种基本的命题推理
（一）联言推理
联言推理：前提或者结论是联言命题，或者依据联言命题的逻辑性质进行的推理
有两种形式：分解式和合称式
分解式：p并且q/所以，p 或者 p并且q/所以，q
合称式：p q /所以p并且q
（二）选言推理
选言推理：前提中有一选言命题，依据选言命题的逻辑性质进行的推理
分为两类：相容选言推理和不相容选言推理
①相容选言推理：前提中有一相容选言命题，依据相容选言命题的逻辑性质进行的推理
有效的推理规则是：否定一部分选言之，肯定另一部分的选言支
p或者q 非p/ 所以，q 或者p或者q 非q/ 所以，p
②不相容选言推理：前提中有一不相容选言命题，依据不相容选言命题的逻辑性质进行的推理
有效的推理规则是：
A.否定一个选言支以外的选言支，可以肯定余下的选言支
B.肯定一个选言支，否定其他选言支
A的形式：要么p，要么q 非p/所以，q 或者 要么p，要么q 非q/所以，p
B的形式：要么p，要么q p/所以，非q 或者 要么p，要么q q/所以，非p
（三）假言推理
选言推理：前提中有一假言命题，依据假言命题的逻辑性质进行的推理
分为三类：充分条件假言推理 必要条件假言推理 充要条件假言推理
①充分条件假言推理
有效的推理规则是：
肯定前件可以肯定后件 否定后件可以否定前件
如果p，那么q p/所以，q
如果p，那么q 非q/所以，非p
②必要条件假言推理
有效的推理规则是：
否定前件可以否定后件 肯定后件可以肯定前件
只有p，才q，非p/所以，非q
只有p，才q，q/所以，p
③充要条件假言推理
有效的推理规则是：
肯定前件可以肯定后件 否定前件可以否定后件 肯定后件可以肯定前件 否定后件可以否定前件
当且仅当p，q p/所以，q
当且仅当p，非q p/所以，非q
当且仅当p，q q/所以，p
当且仅当p，q 非q/所以，非p
（四）两难推理
两难推理：由两个假言命题和一个二支的选言命题做前提构成的命题推理。
基本形式：如果p，那么r 如果q 那么r p或者q/所以，r
三、一般命题推理及其判定
判定步骤：
（1）写出要判定的命题推理的真值形式：先写出各前提和结论的真值形式，再将前提用合取连接起来，最后写出前提蕴涵结论。
（2）寻求方法判定命题推理的蕴涵式是否为重言式
方法一、真值表方法（同上一章）
方法二、归谬赋值法
真值表法在处理多命题变项的时候显得臃肿麻烦，而归谬赋值法是真值表法的简化，也称为简化真值表法。
思路：假设前件真，后件假——给各个命题赋值——出现矛盾赋值，说明原蕴涵式是重言式，反之，原蕴涵式不是重言式。
方法三、范式方法
A.常用重言式：
逻辑规律：
(1)同一律 p→p
(2)分离律 ((p→q)∧p)→q
(3)排中律 p∨¬p
(4)矛盾律¬(p∧¬p)
重言蕴涵式：
(5)否定后件律((p→q)∧¬q)→¬p
(6)析取否定肯定律 ((p∨q)∧¬p)→q ((p∨q)∧¬q)→p
(7)合取分解律 (p∧q)→p (p∧q)→q
(8)连锁蕴涵式((p→q)∧(q→r))→(p→r)
(9)归谬律 (p→(r∧¬r))→¬p
(10)析取添加律 p→(p∨q)
重言等值式：
(11)双重否定律q↔︎¬¬q
(12)德摩根律 ¬(p∧q)↔︎(¬p∨¬q) ¬(p∨q)↔︎(¬p∧¬q)
(13)合取/析取交换式 (p∧q)↔︎(q∧p) (p∨q)↔︎(q∨p)
(14)分配律 (p∧(q∨r))↔︎((p∧q)∨(p∧r)) (p∨(q∧r))↔︎((p∨q)∧(p∨r))
(15)蕴涵析取式(p→q)↔︎(¬p∨q)
(16)加元律p↔︎(p∧(q∨¬q)) p↔︎(p∨(q∧¬q))
(17)等值律(p↔︎q)↔︎((p→q)∧(q→p)) (p↔︎q)↔︎((p∧q)∨(¬p∧¬q))
(18)简化律(p∧p)↔︎p (p∨p)↔︎p
B.范式
范式：设A是一真值形式，A'是A的范式，A'具有以下特点：A↔︎A'；A'直观可以判断
因此对真值形式A 的判定可以转化为对其范式A'的判定
简单析取式：简答析取式的任一析取支是一命题变项或其否定 如p∨¬q∨q
一简单析取式是重言式，当且仅当，存在一命题变项及其否定同时是它的析取支 如p∨¬q∨q
简单合取式：简答合取式的任一合取支是一命题变项或其否定 如p∧¬q∧q
一简单合取式是矛盾式，当且仅当，存在一命题变项及其否定同时是它的合取支 如p∧¬q∧q
我们约定，单个命题变项及其否定，如q，¬q，既可以看做简单析取式，也可以看做简单合取式
范式分为合取范式和析取范式
合取范式：合取范式的任意合取支都是简单析取式，如(p∨q)∧(p∨¬q∨q)
一合取范式是重言式，当且仅当，它的任一合取支都是重言的简单析取支
析取范式：析取范式的任意析取支都是简单合取式，如(p∧q)∨(p∧¬q∧q)
一析取范式是矛盾式，当且仅当，它的任一析取支都是重言的简单合取支
C.求范式的方式
步骤：
1.将真值形式中的“↔︎”和“→”完全消去 即 用((p∧q)∨(¬p∧¬q))替换(p↔︎q) 用¬p∨q替换p→q
2.将 ¬ 挪到命题变项之前，消去双重否定号
3.运用分配律，得出范式
D.判定
同一个真值形式可以求得不同的范式，当然，这些范式都是等值的，判定的结论有唯一的确定性
