（合计878字，用时100min——）

这应该是整本书最难的一部分，因为相对而言定理形式比较复杂，难于记忆，然后，缺乏实例去加深记忆，并且对于老师而言，很难展开，所以反而是一个值得在教学上深究的点。

Mark一下~

第 五 章  相似矩阵及二次型

&5.二次型及其标准型

概念：

• 二次型：含有n个变量x1,x2,...,xn的二次齐次函数

    ——称为二次型。

• 合同：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使

    ——则称矩阵A与B合同。

• 二次型的标准形（或法式）：取aij=aji，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是二次型可写成

    ——对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换

    ——使二次型只含平方项，也就是上式代入原式，能使

    ——这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。

• 二次型的规范形：如果标准形的系数k1,k2,...,kn只在1，-1,0三个数中取值，即

    ——则称上式为二次型的规范性。

定理：

• 任给二次型

    ——总有正交变换x=Py，使f化为标准型

    ——其中λ1,λ2,...,λn是f的矩阵A=(aij)的特征值。

• 任给n元二次型

    ——总有可逆矩阵x=Cz，使f(Cz)为规范型。

&6.用配方法化二次型成标准型

方法：用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于正交变换，那么还可以有多种方法（对应有多个可逆的线性变换）把二次型化成标准型——拉格朗日配方法——例题见书上。

&7.正定二次型

概念：

• 正定二次型：设有二次型

    ——如果对任何x≠0，都有f(x)>0（显然f(0)=0），则称f为正定二次型，

    ——并称对称阵A是正定的。

• 负定二次型：设有二次型

    ——如果对任何x≠0，都有f(x)<0（显然f(0)=0），则称f为负定二次型，

    ——并称对称阵A是负定的。

• 正惯性指数：二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数。

• 负惯性指数：二次型的标准型中负系数的个数称为二次型的负惯性指数。

定理：

• 惯性定理：设有二次型

    ——它的秩为r，有两个可逆变换x=Cy及x=Pz使

    ——及

    ——则k1,k2,...,kr中正数的个数与λ1,λ2,...,λr中正数的个数相等。

• 若二次型f的正惯性指数为p，秩为r，则f的规范形便可确定为

• n元二次型

    ——为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正，

    ——即它的规范形的n个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于n。

• 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

• 赫尔维茨定理：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即

    ——对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即