有意思的概率与统计（七）

好耶！进度又进一步！

随机变量的基本概念——分布函数与分布列（概率密度函数）已经介绍给大家了，相信大家也已经对随机变量有了最初步的认识，同时也比中学阶段的认识更深入了一些。

随机变量的分布函数以及分布列（概率密度函数）实际上是随机变量及其分布的基本特征，它是描述和研究随机变量的最基础的概念和内容。而接下来，我们就要介绍一些随机变量的其他特征。这些特征一般被称为“数字特征”。

首先，我们就要来介绍——

Chapter  Two  随机变量及其分布

2.2  随机变量的数学期望

据说，历史上第一次提到数学期望这个概念，是来自于一个赌徒向当时的法国数学家Pascal提出的一个分赌本的问题——

17世纪中叶，一位赌徒向Pascal写信提问，说有一个他苦恼了很久的问题想请教他。

他之前与朋友赌博，两个人的赌技不相上下。规定两个人各出50法郎作为赌本，并且每局结果不设平局；谁先赢得三局，就拿走全部的100法郎。结果赌局进行到一半，朋友因为国王召见不得不终止赌局。此时，他赢了两局，朋友赢了一局。他苦恼的是，这100法郎的赌本要怎么分配呢？

这个问题引起了很多人的兴趣。大家都认为，平分对于这个人而言并不公平；而如果全部分配给这个人，对于他的朋友又不公平。所以很明显，应该找到一个合适的比例，使得这个人分得的赌本更多一些，他的朋友的分得的赌本要少一些。

有人提出，根据现在的胜负情况，这个人赢了两局，他的朋友赢了一局，那么他应该分得2/3，他的朋友应该分得1/3，因为他们各自赢得的局数代表了目前他们各自的优势情况。

但是，1654年，Pascal却提出了另一种解法。他认为，既然规则认定，只有赢得了三局才能获得全部赌本，那么根据只已胜利局数来分配赌本显然不合适。那么，设想赌局还可以再继续下去，最多两局，赌局一定会结束。此时，二人的胜负情况可以构成一个样本空间，X为对应于这个样本空间的离散型随机变量，记为“这个人拿走的赌本数量”。显然，X取值为0或100。

这样，我们就可以对这个随机变量写出它的分布列：

Pascal基于分布列，提出用数值：

来作为最终这个人应分到的赌本数目。这种分法不仅考虑到了已赌局数对总结果的可能影响，同时也考虑到了对继续赌下去的结果的“期望”。因此，我们将这种结果称为随机变量X的数学期望，或称均值。

那么，我们现在要来对数学期望给一个十分具体而严谨的定义，这样能够为我们研究和应用这一概念打下基础：

设离散型随机变量X的分布列为：

如果级数：

收敛，则称：

为随机变量X的数学期望，简称为期望或均值。若级数（1）不收敛，则称X的数学期望不存在。（即使级数（2）收敛。）

那么，对应地，对于连续型随机变量而言，用概率密度函数代替概率，那么其数学期望的定义就是：

设连续型随机变量X的概率密度函数为p(x)。若反常积分：

收敛，则称：

为随机变量的数学期望，简称期望或均值。若积分（1）不收敛，则称X的数学期望不存在。（即使积分（2）收敛。）

这般定义不仅符合Pascal在解决问题时的想法，同时也严格地刻画了数学期望本身的特点与性质。最主要的，我们可以在定义中看见，如果数学期望表达式对应的级数与积分只是条件收敛的，那么按照规定，我们只能说数学期望不存在，即使级数的和与积分值是可求的。

这点并不难理解，只要我们还记得，在数学分析篇章的级数部分，我们在介绍绝对收敛与条件收敛时，曾经提到过的有关更序级数这样两个性质：

（1）绝对收敛级数的更序级数仍然是绝对收敛级数，且与原级数和一致；

（2）Riemann定理：对于任意实数和任意条件收敛级数，都存在该级数的更序级数，使之收敛到该实数。 

——转自数学分析篇章，专栏（四十九）

这表明，如果数学期望表达式不是绝对收敛的，那么通过调换求和顺序与规律，我们得到的期望值并不唯一，甚至是覆盖到整个实数域的。这显然违背了数学期望的应用背景与提出条件。

对于任意分布而言（以离散型随机变量为例），本应该无所谓乘积项的加和顺序，毕竟这是对于随机现象的客观描述。但如果是条件收敛，这就不能够被满足。这一点需要大家仔细理解，深刻记忆~

介绍完了定义，我们就要来研究数学期望的性质。

我们来分析一个简单的离散型随机变量X的分布列：

现在，我们想基于这个分布列，求随机变量的数学期望。那么，显然，按照最一般的流程，我们先要求出的分布列：

合并Y取值相同的项，得到Y的分布列：

从而求出，Y的数学期望为：

但是，我们也能够注意到，即使不合并取值相同的Y，而使用的分布列，我们也能够得到：

因此，我们不难自然地想到：

若离散型随机变量X的分布用分布列表示，那么其某一函数g(X)的数学期望为：

（假定X和g(X)的数学期望都存在，下同。）

推及到连续型随机变量，就有：

若连续型随机变量X的分布用概率密度函数表示，那么其某一函数g(X)的数学期望为：

我们就离散型随机变量的情况给出证明（当然可能并不完善），以此便于大家理解这一定理。

根据数学期望的定义，对于新的随机变量Y=g(X)，应该有：

这样，我们就证明了离散情形下的结论。

（这里需要注意到，因为我们所需要的数学期望是都存在的，因此绝对收敛性有所保证，这样我们才敢放心地将括号打开；否则，按照我们在数学分析部分指出的，这样的括号只可以任意添加，并不能够任意打开。）

对于连续型随机变量的情况，则需要充分考虑到有关积分的很多性质，包括无穷积分的定义（将上下限转化为任意有限的实数）以及定积分的定义（将积分号转换为求和号，积分表达式转化为Riemann和的形式）等，综合这些内容才能够给出一个较为完善的证明。

但不管怎么说，结论目前是没有错的，只是我们不再进一步给出证明了。

基于这个定理，我们能够直接得到以下几条常用的基本性质：

（1）

（2）

（3）

思考：

1. 求以下随机变量的数学期望：

   （1）一海运货船的甲板上放着20个原料桶，其中有5个被海水污染了。从中随机取出8桶，X为8桶中被污染的桶数；

   （2）有10只电子元件，其中2只不合格。从中任取一只装配仪器，若不合格则丢弃重新抽取，依次重复。X为抽到合格品之前丢弃的不合格品的数目；

   （3）X的分布函数如下：

   

2. 若X为仅取非负整数的离散型随机变量，且其数学期望存在，证明：

   （1）

   

   （2）

   

3. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，且X的数学期望存在，证明：

   

4. 设X为非负连续型随机变量，若存在，试证明：

   （1）

   

   （2）

   
   

最後の最後に、ありがとうございました！