一道李正元上中值证明题的思路

思路：题目要求证明f''（x）有界，首先从Lagrange入手，因为此时题目已经给出了f'''有界，如果使用Taylor定理会引入f'，反而不好处理。

如图，

Lagrange可以联系原函数和导函数

，并且我们由上图可知，不妨假设f'''（ξ）＞0（＜0同理），此时f''恒在切线上方，但此时题目给出了f'''有界，如

果能限制（x-x0）范围即可证明出二阶导有界。

此时我们将该式子两边加上绝对值，并且进行放缩，研究|x-x0|即可。 若0

接下来继续研究另一个区间（x>x0）。 因为根据图1的分析，此时Lagrange失效，考虑使用泰勒。

为了消掉f'（x）我们可以在x+x0和x-x0处Taylor展开，如上图所示。

联立两式，用绝对值不等式进行放缩，可以证明有界。

此时我们不难发现x0具有任意性，x0=1即为李正元书上的特殊情况。

这里再补充一道原函数和导函数的题目