新一代线性代数学习方案·线性变换观点下的线性代数（1）
序：
本方案深受一代数学宗师克莱因的《高观点下的初等数学》影响。
克莱因在该书第1卷“数学的现代发展及一般结构”有中提出了3种进程——
作者光电面壁人经长期面壁思考，统筹兼顾各进程的优缺点，创造性地提出了学科观念进程（附录中详述），本方案旨在尽快地让学习者加装恰当的学科观念以充分发挥主观能动性去自学。
一、五个战略性问题的战略性回答
1、为什么要学习线性代数
战略性回答：凡是线性的人类基本都会（研究得很清楚了）；凡是非线性的基本都不会（尚在探索中），会的一个重要办法是将非线性近似为线性。
2、线性是什么？
战略性回答：从运算意义上来说，运算对象的线性是其叠加性+齐次性，“线性=叠加性+齐次性”（这句话应当印在新一代教材的封皮上），这种运算对象就是广义上的向量，对应的两种线性运算分别是向量加法和数乘。
3、线性变换是什么？
战略性回答：变换是一种算子，线性变换是保持向量加法和数乘两种运算的操作。线性变换是线性空间内的向量集合的运动。对于线性变换一个形象化的几何解释出自3blue1brown：保持原点不变并使坐标系网格平行等距的操作。
4、线性代数是什么？
战略性回答：线性代数是在线性空间内以线性变换为中心的代数。我们要学的内容有行列式、矩阵、向量（组）、基、向量空间（线性空间）、特征值和相似变换、二次型和合同变换等。
其中，
向量（组）是线性变换的自变量和因变量；
线性空间是线性变换的背景；
基是线性空间中选出的一组充当参考系的向量组；
矩阵是某个基下一个线性变换的描述，也是个向量组；
行列式是矩阵的一种运算，是线性变换的一种尺度；
线性方程组是线性变换的一个具体应用；
特征值和相似变换是凸显线性变换的一种方法；
二次型和合同变换是线性变换推广后的双线性函数的一个特殊情况。
可以看出，线性变换是线性代数知识体系的中心所在。
而现行的主流方案既同济版线性代数及其沿袭与衍生版本的体系为工具——应用路线：
如图，行列式、矩阵、向量组理论是是线性方程组理论的基础，而行列式、矩阵、向量组、线性方程组理论又是相似对角形和二次型理论的基础。
用正交变换法写出标准形，会像胚胎发育一般重演线性代数这门课的学习历程。它足以出考试的压轴大题。
经广大群众反映，同济版及其沿袭衍生版本的学习体验并不良好，群众们迫切需要新一代的学习方案。故一大批辅助线性代数教学的方法在近10年间大量出现，已经到了新旧方案交替的历史岔路口，作者经长时间面壁思考，设计了一套我心目中理想的方案。
5、怎样学线性代数
（1）先整体后局部。先勾勒出整体的知识体系。
（2）先切入后长驱直入。先通过几个切入口树立起学科观念，然后结合手上现有的同济版及其沿袭衍生物的教材，自主学习教材上的绝大部分内容。
（3）必要的例题练习，在足量题目训练中加深对知识的理解。
（4）广泛涉猎线性代数的应用案例、博采线性代数已有的许多教学辅助方案的众长。
（5）如有机会，可以点亮大学生数学建模的技能树，从MATLAB线性代数大作业开始。
（当然如果不走工科路线，线性代数可以学不致用，第4、5条可以不管）
二、切入口——克莱姆法则
克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。虽然它不是十分优秀的解法，但它的理论价值极大。
历史上的线性代数起源于求解线性方程，经世致用强力刺激了线性代数的发展。现今的线性代数是线性空间内的代数，所有的描述语言都是向量的集合，如向量、向量组、线性空间。
对于线性方程组我们将用向量组的形式简记：
在线性变换的观念看来，系数矩阵对自变列向量进行了列变换，而自变列向量对系数矩阵在行变换：这启示我们把方程组的解分别视为两个列向量的伸缩率。它的几何图景是：
人们发现了这样的一种有方向性的平行四边形，
这种平行四边形在变换前后是同底不等高的，则面积之比即为伸缩率。如图，y=蓝色平行四形面积/粉色平行四边面积=2；
同理，对于另一个伸缩率x，
可求得
我们把这种有向平行四边形的面积称为行列式，它在二维情形时与向量叉积如出一辙，但在三维时，它是个有向平行六面体。更高维度时，它是对应向量组及其中心对称的向量组邻接围成的有向区域。
至此，请树立数形结合观、线性变换观。
而初学线性代数时接触的是逆序数和行列式的定义式，它通常令人困惑：
在数形结合观念看来，这是正交分解法，分量相乘再相加。行列式的有向性的几何解释为“手性”，逆序一次的几何解释为“换手”。
之后学习者完全可以凭数形结合观和长驱直入，自学并掌握第一章行列式理论。
性质1 行列式转置不变
几何解释：转置是关于空间对角线的对称。几何体的对称显然不改变其体积。
性质2 互换行列式的两行(列），行列式变号。
几何解释：互换行(列)即镜像，镜像即改变手性，即行列式变号。
性质2推论：如果行列式有两行(列)相同，则此行列式=0。
几何解释：n维有向几何体的邻边相互平行，一旦平行则图形坍塌降维，体积为0。（比如平面的体积为0）
性质3 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
几何解释：有向几何体某一个边长的伸缩=整个体积的伸缩。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式=0。
几何解释：邻边成比例也是邻边平行。
性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则行列式=两个分行列式之和。
几何解释：显然这是向量加法的平行四边形定则。
性质6 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。
几何解释：应变前后同底等高，且手性不变，即行列式不变。
行列式的定义式计算比较麻烦。对于几何体的体积，我们最喜闻乐见的是“体积=底面积·高”——行列式按行(列)展开（降阶法），按某一条边长来求体积，几何直观上看是让这个边长当高，这样只需求底面积。而对于高维几何体，我们只需要迭代这个过程把它从超平面逐步降维至平面即可。
这个超平面的代数解释为“余子式”，如果再对它考虑手性即“代数余子式”。
引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，那么这个行列式=aij与它的代数余子式的乘积。
几何解释：有向（超）体积=（超）高·有向（超）面积。
更一般的情况的定理：行列式=它的任一行(列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。这是上面引理的分量版本
这个定理叫做行列式按行(列）展开法则，它的一个推论是行列式任一行(列）的元素与另一行(列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0。
几何解释：高和底面积平行时体积为0，显然高⊥底面积才有体积。
更一般的是按k行(k列）展开叫做拉普拉斯定理。
几何解释：“超高”⊥“超底面”，“超体积=超高·超平面”，“超高”、“超平面”仍满足在总空间上的垂直与维数互余关系。
至此，行列式理论的主要内容你已经不知不觉地基本全学完了，剩下的那些定义、定理、性质大都是顺其自然的事，它们这些拼块组成的这幅拼图整体轮廓已经逐渐明晰。当你把行列式理论应用于解线性方程组时，你会发现，总的来说就一幅图景——旗杆和地面。
旗杆和地面的比喻是深刻的。对于齐次线性方程组
齐次线性方程组是个“向量内积=0”的形式，也就是说，系数向量组⊥解向量。直观上看，解向量是一维的，系数向量是n维的，这样的正交在n维空间中形如旗杆⊥地面。
旗杆和地面总共是占满3维空间的，二者的维数关于总的空间维数互余，一方的坍塌伴随着另一方的崛起——
定理：n元齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所构成的集合S是一个向量空间，当系数矩阵的秩R(A)=r时，解空间的S的维数为n-r。（秩的意思就是维数）
【第一章小结】
久经考验的学科观念的树立是能否大力发挥群众主观能动性的关键。一旦学习者头脑中加装了恰当的学科观念，许多知识的学习将势如破竹。
