【高等数学第9讲】导数的概念（考研高频考点与易错点）

第九章 导数的概念

一、知识点

1. 切线:
2. 本质：割线的退化状态
   

   05:15

   
   ，求某一点邻域内变化率的最佳近似。
3. 易错点：
4. 切线与曲线未必只有一个公共点
5. 与曲线只有一个公共点的直线未必是切线
6. 导数本质：函数在某一点邻域内变化率的最佳近似。
7. 导数的相关概念：
8. 可导、导数及其等价定义
9. 可导：
   

   31:52

   
10. 等价定义：
    

    35:45

    
11. 左导数、右导数：
    

    40:30

    
12. 可导的充要条件：
    

    42:52

    
13. 左导和右导存在且相等。
14. 用途：判断分段函数在分段点处是否可导
15. 函数在区间上的导数：
    

    43:52

    
    （类比函数在区间上连续的定义）
16. 导函数：
    

    46:14

    
17. 为何导函数存在？：导数用极限定义，而极限具有唯一性，所以能保证每个x对应唯一的f'(x)
18. 强调：f(x)在[a,b]上可导不等价于在[a,b]上每一点可导。（闭区间两端点没有完整的邻域）
19. 可导与连续的关系：
20. 可导必连续，连续不一定可导
21. 曲线光滑与可导的关系：
    

    01:51:33

    
22. 函数可导一定曲线光滑
23. 曲线光滑不一定可导->在某点处导数不存在->无穷或振荡
24. 反例f(x)=x^(1/3)，在x=0处有铅直切线

二、证明

1. 证明“可导必连续”：
   

   01:45:06

   
2. 举例说明“函数可导不一定连续可导”：
   

   01:55:01

   
3. 即f'(x)存在，但f'(x)未必连续
4. 二阶可导可以推出一阶连续可导，不能推出二阶连续可导：
   

   02:00:NaN

   

三、计算

1. 判断函数在某点可不可导：（第一次做错了）
   

   01:07:16

   
2. 什么时候分左右求导数？：除非是在分段点左侧和右侧的关系不一样，否则遇到绝对值，根号等，不要先急着分左右。等到整体做出现分歧必须分左右时再分左右。
3. 注意看老师的解题步骤：
   

   01:08:38

   
4. 判断分段函数在分段点处的性质：（第一次做题方法错误）
   

   01:16:56

   
5. 不能用求导公式来做
6. 第一次做的时候x<=0的部分我使用了定义，x>0的部分我看是初等函数所以用了求导公式。但是x>0的部分不包括x=0这一点，求出来的导函数和f(x)在x=0处的性质无关，所以x>0这一段也只能用定义来做
7. 一个基本问题：已知可导求极限存在，和已知极限存在判定函数在某点处是否可导：见图1：
   

   01:32:11

   
8. 根据极限的定义式做题：（多听几遍）
   

   01:37:50

   
9. 判断标准：
10. 双侧趋近
11. 分子必须是一动一定
12. φ(h)和g(h)必须同阶（见图2）
13. 根据函数可导求参数：
    

    02:07:04

    
14. 函数形式复杂，最好不用求导公式
15. 已知在某一点的导数，求极限：
    

    02:15:47

    

图1：

图2：