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那时面对超级难题,我!居然!轻敌了!

2023-08-04 09:35 作者:Septsea  | 我要投稿

我认为, 一些平面几何题是可被用三角函数解决的; "三角" 是有秘密的. 最近, 有几个同志问我求角度的题. 我一看, 这是已知四个角, 求一个角. 具体地, 有一个题说: "设 D 是三角形 ABC 内的一点. 设角 ABD, DBC, DCB, ACD 分别是 30°, 40°, 20°, 50°. 求角 DAB." 看上去, 这是有一些挑战的. 不过三角不怕此事. 为什么呢?


首先, 1 = (AB/AD) (AD/AC) (AC/AB); 我想, 这是显然的.


秘密来了.


在三角形 ABD 中, 边 AB 所对的角为 (150°-x), 边 AD 所对的角为 30°, 故由正弦定理,

AB/AD = sin(150°-x)/sin(30°) = 2sin(x+30°);

在三角形 ADC 中, 边 AD 所对的角为 50°, 边 AC 所对的角为 90°+x, 故由正弦定理,

AD/AC = sin(50°)/sin(90°+x) = sin(50°)/cos(x);

在三角形 ACB 中, 边 AC 所对的角为 70°, 边 AB 所对的角为 70°, 故

AC/AB = 1.

从而

1

= (AB/AD) (AD/AC) (AC/AB)

= 2sin(x+30°) sin(50°) / cos(x).


从而

2sin(x+30°) sin(50°) = cos(x).

从而

(√3 sin(x) + cos(x)) cos(40°) = cos(x).

从而

(√3 tan(x) + 1) cos(40°) = 1.

从而

tan(x) = (1 - cos(40°)) / (√3 cos(40°)).


注意到

tan(x)

= (1 - cos(40°)) / (√3 cos(40°))

= (1 - cos(40°)) (2sin(40°)) / (√3 cos(40°) 2sin(40°))

= (2sin(40°) - sin(80°)) / (√3 sin(80°))

= (2sin(40°) - cos(10°)) / (√3 cos(10°))

= (2sin(10°+30°) - cos(10°)) / (√3 cos(10°))

= (√3 sin(10°) + cos(10°) - cos(10°)) / (√3 cos(10°))

= (√3 sin(10°)) / (√3 cos(10°))

= tan(10°),

再注意到 0 < x < 40°, 即得 x = 10°.

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