一个经典问题的博弈论分析

这是一个挺有名的节目片段，涉及两个人分奖金的策略。关于这个片段的讨论和发散可以搜到很多，不过大部分都不是很严格，只局限于口头上的定性论证。本文稍微定量地分析一下这个博弈（以下视频的1p）

场景是这样的：Ibrahim和Nick在这个游戏节目的最终轮通过博弈决定奖金的分配（总奖金记为单位1）。两人各自选择split或者steal，如果同时split则各自分到一半，同时steal则都拿不到奖金，一人split一人steal则由steal的人独吞。

这是一个经典的囚徒困境，两个人的理性选择都是steal，最终结果就是全都拿不到奖金。理论上双赢的情况是两人合作选split，这样都可以拿到一半；但这个策略是不稳定的，其中任何一个人都可以通过临时反悔选steal来独吞所有奖金。

但这个节目和简单的囚徒困境的区别在于，两个参赛者有一段自由讨论的时间，在讨论阶段，两个人可以提出合作，可以撕破脸，可以虚张声势欺骗对方，等等。这个讨论阶段就为博弈引入了复杂性，并且导致最终的纳什均衡有机会逃离囚徒困境。

具体来说，在这个片段里面，Nick采取的策略就是，向Ibrahim声明：1.自己一定会选steal（注意是steal而不是split；大部分人都会提议双方一起split，这里Nick属于另辟蹊径，所以观众都懵圈了）；2.如果自己拿到全额奖金，在节目结束后一定会分给Ibrahim一半。当然，这两个声明没有任何实际约束力或者法律效力，只是纯粹的空谈。实际上Ibrahim也确实非常怀疑Nick，并且非常努力地想让Nick改变想法选择split，但Nick非常坚定，只好作罢。

最终选球的结果非常出人意料：两个人都选择了split，达到双赢的结果。下面就来定量地分析一下，为什么会有这样的结果？

为了简单起见，我们不考虑双方在讨论阶段的博弈（即，不讨论他们是否有动机去提出合作/欺骗对方，等等），而只关心讨论阶段（视为给定）对最终选择这个静态博弈的影响。

具体到这个视频，在讨论阶段，Nick给Ibrahim引入了两个方面的不对称信息：1.“我声明自己会选steal，但也有可能食言”；2.“我声明自己赢后会分给你一半，但也有可能食言”。这样，最终选球的博弈就从一个普通的正则形式博弈变成了贝叶斯博弈。

为了尽可能保持一般性，我们从偏好开始建立一整套模型。

我们假设Ibrahim的偏好是，其中是上所有概率测度的集合。我们假设这个偏好是理性、连续的，并且满足独立性公理，从而有Von Neumann–Morgenstern期望效用表示，其对应Bernoulli效用记为。

类似地，我们假设Nick的偏好是，其中是上所有概率测度的集合。其中，H代表不食言，F代表食言。我们引入H和F是因为，Nick不仅在选择最终赢到的钱，也在选择自己是否食言，而通常来说保持诚信会在心理上给人正向的激励。当然，这个模型并不排除Nick完全没有食言的心理负担的可能，它允许任何可能的偏好。同样，我们假设这个偏好是理性、连续的，并且满足独立性公理，从而有Von Neumann–Morgenstern期望效用表示，其对应Bernoulli效用记为。为了之后标记简单起见，我们把这两个函数重新记为。

现在进入不对称信息的刻画。Ibrahim不知道Nick的两方面信息：1.有多大的倾向选择守信选择steal（用效用函数上的随机性刻画）；2.有多大概率分一半奖金。我们假设这个整体的后验测度在分一半奖金上的边缘概率为，而条件于“分一半”（S）/“不分”（K）上的效用函数的条件分布分别为和。这样Ibrahim的不完全信息的完整测度就刻画出来了。这个测度是在讨论过程中形成的。

至于Nick对于Ibrahim的不完全信息，其实可以看作是没有的，因为Ibrahim属于谈判中的被动方，并没有主动引入关于自己的不对称信息。不过，因为我们把Nick的效用函数的不确定性引入了模型，那么公平起见，就不妨把Ibrahim的效用函数不确定性也引入进来。当然，这个不确定性没有本质影响。我们把它记为。

这两个测度实际上定义得有点随便，毕竟函数空间上的测度并不是一件平凡的事情，通常需要用有限维去扩张形成。不过这里就假装它们都是良定义的好了。

在模型设定好之后，纳什均衡就可以直接定义出来了（我们用C表示cooperate即split，D表示defect即steal。具体的U的形式没有写出来，读者感兴趣的话可以按节目本身的设定把它的具体表达式补足）：

这三个方程看起来有点麻烦，包含了一堆泛函。当然，完全的求解大概也是不可能的。不过有一个好消息：我们可以找到它的一个特解：

读者要是感兴趣的话，验证这个特解符合定义还是挺简单的。然后我们可以看看这个特解到底说了什么：如果Nick确实打算诚实地平分他的一半奖金，但是在自己会选择steal这件事上刻意说谎了；而Ibrahim则在讨论过程中形成了这样的后验认知：Nick确实有一定的正概率选择平分奖金，并且也有足够大的概率选择steal——那么最终，两个人都选择split确实是一个可能的纳什均衡。这就确实地解释了视频里最终两人的选择。

当然，读者可能会想，这毕竟只是无数纳什均衡中的一个（对于这个模型，确实有无数个纳什均衡），为什么它就是最终被实现的那个？假如纳什均衡只有一个，那解释力就更强了。下面我们给出一个简化版的模型，在这个简化版的模型里，两人都选择split确实是几乎唯一的纳什均衡。

简化版的模型：首先，Ibrahim身上效用的不确定性直接扔掉好了；其次，我们假设Nick身上的效用符合这样一个简化条件：

即，选择诚信和选择食言之间，有一个固定的常数效用差值。这样就把系统的自由度从无穷个缩减到了两个（h和）。的定义和前面一样，而h的后验分布（条件于平分/不平分上）则分别用这两个cdf来表示。这样一来，模型就清爽了很多。纳什均衡的条件也简化成了（一样，u的具体表达形式略去，它由节目规则本身定义）：

这么一个方程组其实是可以完全求解的。具体过程就不写出来了，总共有6个可能的解，这6个解是互相之间无法完全共存的。特别地，当以下参数条件被满足时：

这个系统只有唯二的两个纳什均衡：

它的直观意义就是：Ibrahim只能选择split；而Nick确实打算诚实地平分他的一半奖金，但是在自己会选择steal这件事上刻意说谎了，因此选择split或者steal（此时两个选择对他没有区别，因为他确实打算平分）。无论如何，Ibrahim的最佳选择都被强行挪动到split。红色的这个条件就是Nick在讨论过程中必须达到的目标：只要他把Ibrahim的后验认知修改为符合红色的这串条件，那么Ibrahim就只能不得不选择split。这也是Nick在讨论中（假装）非常坚持自己一定要选steal绝不动摇的原因，因为只有这样才能让Ibrahim的后验认知偏移到满足标红条件的区域。

对这串标红条件的分析还是挺有意思的。比如说，我们可以看出，必须要大于0，也就是说，Nick必须要让Ibrahim相信自己有正概率平分，无论这个正概率有多小；同时，Nick也需要让Ibrahim相信自己以正概率存在正的道德负担，也就是至少需要有那么一点不是“完全欺骗”的概率；这两个“正概率”还有一定的trade-off，一个小的话另一个必须大，反之亦然；最后，我们还可以看出，如果双方越是厌恶风险，那么就越倾向于达成split-split这个双赢的合作场面。

总的来说，这个例子展示了通过引入不对称信息来规避囚徒困境的一种可能性，还是挺有意思的。