自制均值不等式+对数一题及其解答

2023-07-01 22:41 作者:Derivitiva 0人读过 | 我要投稿

已知 $a%3E1%2Cb%3E1%2Cc%3E0$ ，且满足 $a%5Ecb%5Ec%3Db%5E%7B%5Cln%7Ba%5E2%7D%7D$

（1）求证： $0%3Cc%3C2%5Cln%7Ba%7D$

（2）求 $%5Cfrac%7B(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7Bc%7D)(c%5Cln%7Bab%7D%2B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D)%7D%7B%5Cln%7Ba%5Ec%7D%7D$ 的最小值

（1）证明：由方程 $a%5Ecb%5Ec%3Db%5E%7B%5Cln%7Ba%5E2%7D%7D$ ，可得 $b%3Da%5E%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%5Cln%7Ba-c%7D%7D%3E1$

由于 $a%3E1$ ，所以 $%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%5Cln%7Ba-c%7D%7D%3E0$ ，又有 $c%3E0$ ，故 $2%5Cln%7Ba-c%7D%3E0$

所以 $0%3Cc%3C2%5Cln%7Ba%7D$ .

（2）解：化简上式

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7Bc%7D%5Cright)%5Cleft(c%5Cln%7Bab%7D%2B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%5Cright)%7D%7B%5Cln%7Ba%5Ec%7D%7D%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7Bc%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7Bc%5Cln%7Bab%7D%2B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7D%7Bc%5Cln%7Ba%7D%7D%5Cright)$

$%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7Bc%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%7Bc%7D%5Cright)%3D%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7Bc%7D%2B1%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%7Bc%7D%2B1%5Cright)$

$%3D%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7B(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D)%7D%5E2$

由方程 $a%5Ecb%5Ec%3Db%5E%7B%5Cln%7Ba%5E2%7D%7D$ ，可得 $c%5Cln%7Bab%7D%3D2%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D$ ，因此有 $%5Cfrac%7Bc%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7D%2B1%3D3$

从而 $%5Cfrac%7Bc%5Cln%7Ba%7D%2Bc%5Cln%7Bb%7D%2B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7D%3D3$ ，即 $%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B1%3D3$

结论： $%5Cfrac%7Bc%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Cright)%7D%7B3%7D%3D1$

巧用1的代换，将原式乘上1：

原式= $%5Cfrac%7Bc%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7B(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D)%7D%5E3%7D%7B3%7D$

接下来可以使用均值不等式求这个式子的最值。

由 $a%3E1%2Cb%3E1%2Cc%3E0$ ，可得 $%5Cln%7Ba%7D%2C%5Cln%7Bb%7D%2Cc$ 皆为正数，

因此（三元均值不等式） $%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%7D%5Cle%5Csqrt%5B3%5D%7Bc%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7D$

两边立方，得 $%5Cfrac%7B27%7D%7B%7B(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D)%7D%5E3%7D%5Cle%20c%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D$

简单移项，得 $%5Cfrac%7Bc%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D%7B(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D)%7D%5E3%7D%7B3%7D%5Cgeq9$

即 $%5Cfrac%7B(%5Cfrac%7B%5Cln%7Bab%7D%7D%7B%5Cln%7Bb%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%7Ba%7D%7D%7Bc%7D)(c%5Cln%7Bab%7D%2B%5Cln%7Ba%7D%5Cln%7Bb%7D)%7D%7B%5Cln%7Ba%5Ec%7D%7D%5Cgeq9$

取等条件：当且仅当 $c%3D%5Cln%7Ba%7D%3D%5Cln%7Bb%7D$ ，此时 $c$ 在 $(0%2C2%5Cln%7Ba%7D)$ 范围内， $%5Cln%7Ba%7D%3D%5Cln%7Bb%7D$ 也可以成立，所以原式可以取得等号.因此这个式子的最小值就是9.

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