【数学基础42】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
数列lim （1+1/n）^n=e，（1+1/n）^n<e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试证明下述不等式：（1+1/n）^n>e^（1-1/n）
证：
（1+1/n）^n<e，则e^（1/n）>（1+1/n）；
e^（1-1/n）
=e/[e^（1/n）]
<e/（1+1/n）
<（1+1/n）^n/（1+1/n）
=（1+1/n）^（n-1）
<（1+1/n）^n，证毕。
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——b
试证雅克比（Jacobi）恒等式：（axb）xc+（bxc）xa+（cxa）xb=0.
证：
（axb）xc=（ac）b-（bc）a，
（bxc）xa=（ba）c-（ca）b，
（cxa）xb=（cb）a-（ab）c；
（axb）xc+（bxc）xa+（cxa）xb
=[（ac）b-（bc）a]+[（ba）c-（ca）b]+[（cb）a-（ab）c]
=0，证毕。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
设n级矩阵A，B满足A+B=AB，证明：E-A，E-B都可逆，并且AB=BA.
证：
（E-A）（E-B）=E-A-B+AB=E-（A+B）+AB=E，
所以E-A，E-B都可逆，（E-A）^（-1）=E-B；
（E-B）（E-A）=E-B-A+BA=E，所以BA=B+A=A+B=AB，证毕。
到这里！
