MIT 2016 Quantum Physics I Lecture Note 1
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Chapter 1: Key Features of Quantum Mechanics
量子力学现在已经快100年了，但我们仍然在发现它一些惊人的特性，它仍然是许多研究和推测的主题。量子力学的框架是经典物理框架的一个丰富而优雅的扩展。它也是违反直觉的，也几乎是矛盾的。
量子物理学已经取代了经典物理学，成为我们物理宇宙的正确基本描述。它通常用于描述在短距离下发生的大多数现象。量子物理学是将量子力学框架应用于不同的物理现象得出的结果。因此，当量子力学应用于电磁学时，我们就有了量子电动力学；当它应用于光学和光学设备时，我们就有了量子光学；当它应用于引力时，我们就有了量子引力学。量子力学确实提供了一个非常协调和优雅的框架。量子物理学的时代始于1925年，由Schrödinger和Heisenberg的发现开启。这些发现的种子由Planck、Einstein、Bohr、de Broglie等人种下。人类想象力的表现在于我们能够发现定义量子力学的违反直觉和抽象的一套规则。在这里，我们旨在解释和提供一些关于这个框架的主要特点的观点。
我们将首先讨论线性性质，这是量子力学与电磁理论共享的特性。这个属性告诉我们量子力学是什么样的理论，以及为什么可以说它比经典力学更简单。接下来，我们转向光子，即光的粒子。我们使用光子和偏振器来解释为什么量子物理学不是确定性的，与经典物理学相反，某些实验的结果无法预测。量子力学是一个框架，在其中我们只能预测任何给定实验的各种结果的概率。接下来我们将讨论量子叠加，其中量子物体以某种方式成功地同时存在于两种相互不兼容的状态中。例如，一个量子灯泡可以处于同时开启和关闭的状态！
1 Linearity of the equations of motion（运动方程的线性性）
在物理学中，一个理论通常由一组描述该理论的动态变量的方程式来描述。在写出一个理论之后，最重要的任务是找到方程的解。方程的解描述了该理论下的可能现实。例如，由于宇宙膨胀是阿尔伯特·爱因斯坦引力方程的一个解，因此根据这个理论，宇宙膨胀是可能存在的。一个单一的理论可能有许多解，每个解都描述了一个可能的现实。
存在线性理论和非线性理论。非线性理论比线性理论更为复杂。在线性理论中，有一个显著的事实：如果你有两个解，只需将这两个解相加，你就能得到该理论的第三个解。一个美丽的线性理论的例子是麦克斯韦的电磁理论，该理论控制着电场和磁场的行为。一个场，正如你可能知道的那样，是一个其值可能取决于位置和时间的量。这个理论的一个简单解描述了沿着特定方向传播的电磁波。
另一个简单的解可以描述一个以不同方向传播的电磁波。由于该理论是线性的，两个波可以同时传播，每个波以自己的方向传播，而不相互影响，这是一个新的、一致的解。总和是一种解，因为新解中的电场是第一个解中的电场和第二个解中的电场之和。磁场也是如此：新解中的磁场是第一个解中的磁场和第二个解中的磁场之和。实际上，你可以添加任意数量的解，仍然能够找到一种解。即使这听起来有点玄学，你也完全熟悉它。你周围的空气充满了电磁波，每个电磁波都不会影响其他电磁波的传播。有数千部手机的波，数百条无线网络消息的波，来自众多无线电台、电视台的波，以及许多其他的波。今天，一条跨大西洋的电缆可以同时承载数百万个电话呼叫，以及大量的视频和互联网数据。所有这些都得益于线性性质。
更具体地说，我们说麦克斯韦方程是线性方程。麦克斯韦方程的解由电场E、磁场B、电荷密度ρ和电流密度J组成，全部表示为(E,B,ρ,J)。这些场和源满足麦克斯韦方程。线性性意味着如果(E,B,ρ,J)是一个解，那么(αE,αB,αρ,αJ)也是一个解，其中所有场和源都乘以常量α。给定两个解
(E1,B1,ρ1,J1)和(E2,B2,ρ2,J2)， （1.1）
线性性还意味着我们可以通过将它们相加得到一个新的解
(E1 + E2, B1 + B2, ρ1 + ρ2, J1 + J2)。 （1.2）
新解可以称为两个原始解的叠加。
很容易解释一般情况下什么是线性方程或线性方程组。考虑方程
L u = 0, (1.3)
其中，简要地说，u表示未知量。未知量可以是一个数，也可以是时间的函数、空间的函数、时间和空间的函数，基本上可以是任何未知量！实际上，u可以代表一组未知量，这种情况下我们将上面的u替换为u1、u2等。符号L表示线性算符，它满足以下两个性质：
L(u1 + u2) = Lu1 + Lu2, L(a u) = aLu, (1.4)
其中a是一个数。注意，这些条件意味着
L(αu1 + βu2) = αLu1 + βLu2， (1.5)
这表明如果u1是一个解(Lu1 = 0)，u2是另一个解(Lu2 = 0)，那么αu1 + βu2也是一个解。我们称αu1 + βu2为解u1和u2的一般叠加。下面是一个例子，考虑方程
其中τ是一个带有时间单位的常数。实际上，这是一个线性微分方程，如果我们定义，则采用L u = 0的形式
练习1. 验证 (1.7) 满足线性算符的条件。
爱因斯坦的广义相对论是一种非线性理论，其动力学变量是重力场，即描述行星如何绕星移动的场。作为一种非线性理论，您不能简单地将不同解的重力场相加以找到新解。这使得爱因斯坦的理论相当复杂，据所有报告，比麦克斯韦理论要复杂得多。事实上，经典力学，主要由艾萨克·牛顿发明，也是一种非线性理论！在经典力学中，动力学变量是受力粒子的位置和速度。没有一般方法可以使用两个解来构建第三个。
实际上，考虑一个粒子在受时间无关势能V（x）作用下在线上的运动方程，其中V（x）是x的任意函数。这个问题中的动态变量是x（t），表示时间的位置函数。令V0表示V相对于其自变量的导数，牛顿第二定律的形式为
左边是质量乘以加速度，右边是粒子在势能中受到的力。值得强调的是，右边是函数V'(x)在x等于x(t)时的取值：
虽然我们可以在这里使用普通导数，但对于时间依赖的势能的一般情况，通常会写成偏导数。方程（1.8）不是线性方程的原因是函数 V‘(x) 不是线性的。一般来说，对于任意的函数 u 和 v，我们期望有以下关系：
因此，对于给定的解x(t)，比例缩放的解αx(t)也不一定是解。对于给定的两个解x1(t)和x2(t)，它们的和x1(t) + x2(t)也不一定是解。
练习 对于使x（t）的运动方程是线性的最一般的势V（x）是什么？
量子力学是一种线性理论。这个理论的标准方程，也被称为薛定谔方程，对于一个称为波函数的量是线性的，并且它确定了波函数的时间演化。波函数是量子力学中的动力学变量，但奇怪的是，当埃尔温·薛定谔在1925年写出这个方程时，其物理解释并不清楚。几个月后，马克斯·玻恩建议波函数给出的是概率。这是正确的物理解释，但它被许多人，包括薛定谔本人彻底地不喜欢。量子力学的线性性意味着深层的简单性。在某种意义上，量子力学比经典力学更简单。在量子力学中，可以将解相加形成新的解。
波函数Ψ随时间变化，也可能随空间变化。薛定谔方程(SE)是一个偏微分方程，其形式为：
其中，哈密顿算符（或能量算符）H^ 是一个可以作用于波函数的线性算符：
其中一个常数 a实际上不需要是实数，可以是一个复数。当然，哈密顿量H本身并不依赖于波函数！为了检验薛定谔方程的线性性，我们将其转化为带有L的形式 LΨ = 0，被定义为：
现在很容易验证 L 是一个线性算子。物理上这意味着如果 Ψ1 和 Ψ2 是薛定谔方程的解，则它们的叠加 αΨ1 + βΨ2，其中 α 和 β 都是复数 (即 α，β ∈ C)，也是一个解。
（2023/5/3）
2 Complex Numbers are Essential （复数是必不可少的）
量子力学是第一个真正利用复数的物理学理论。我们日常生活中使用的数字（整数、分数、小数）都是实数。复数集合用C表示，实数集合用R表示。当我们将实数与虚数单位i组合起来时，就会出现复数，其中虚数单位i定义为平方根号负一：i √ ≡ −1。作为平方根号负一，它意味着i的平方必须等于负一：i² = −1。复数在数学中是基本的。例如，对于一个未知数x的方程x² = −4，如果要求x是实数，则无法解决。没有实数的平方能得到负一。但是，如果我们允许使用复数，我们就可以得到解x = ±2i。数学家已经证明，所有多项式方程都可以用复数解决。
一般来说，一个复数z是这样一种形式的数：
其中a和b是实数，ib表示i与b的乘积。数a称为z的实部，数b称为z的虚部：
复共轭数z*是由以下定义的：
你可以快速验证一个复数z是否为实数，如果z* = z，则它是实数；如果z* = −z，则它是纯虚数。对于任意复数z = a+ib，可以定义复数的模|z|为一个正实数，其给定方式为：
你可以快速检查：
其中z* ≡ a - ib 被称为z = a + ib的复共轭。复数在“复平面”中表示为向量。复数的实部是向量的x分量，虚部是y分量。如果你考虑复平面上与x轴成θ角的单位长度向量，它的x分量是cosθ，y分量是sinθ。因此，该向量是复数cosθ + isinθ。欧拉恒等式将其与iθ的指数关联起来：
形如e^(iχ)的复数，其中χ是实数，称为纯相。
尽管在经典力学或麦克斯韦理论中，复数有时很有用，但它们并不是绝对必要的。对应于可测量量的动力学变量都不是复数。事实上，复数根本不能被测量：物理学中的所有测量结果都是实数。然而，在量子力学中，复数是基本的。薛定谔方程涉及到复数。更进一步，量子力学的动力学变量——波函数本身就是一个复数：
由于复数不能被测量，因此波函数与可测量量之间的关系必须是间接的。玻恩提出了将概率（始终为正实数）与波函数的模的平方等同起来的想法非常自然。如果我们将量子系统的波函数写作Ψ，则可能事件的概率由|Ψ|2计算。用于表达量子力学定律的数学框架包括复向量空间。在任何向量空间中，我们都有可以相加的对象称为向量。在复向量空间中，向量乘以复数仍然是向量。在我们学习量子力学时，将波函数Ψ视为某些复向量空间中的向量经常是有用的。
3 Loss of Determinism（丧失确定性）
麦克斯韦最重要的成就是意识到他的电磁学方程允许存在传播波。特别地，在1865年，他猜测光是一种电磁波，即电场和磁场的传播波动。在随后的实验中，他被证明是正确的。到了19世纪末，物理学家们确信光是一种波动。然而，这种确定性并没有持续太久。黑体辐射和光电效应实验表明，光的行为必须比简单的波动更加复杂。马克斯·普朗克和阿尔伯特·爱因斯坦是解决这些实验引发的难题的最杰出的贡献者。
为了解释光电效应的特性，爱因斯坦提出了（1905年）光能以量子形式存在的假设 - 光束由能量的小包组成。爱因斯坦实际上是在暗示光是由粒子组成的，每个粒子携带固定数量的能量。他自己发现这个想法很令人不安，因为他像大多数同时代人一样相信，正如麦克斯韦所示，光是一种波。他预见到一个既能像粒子又能像波一样表现的物理实体，如光，可能会带来经典物理学的消亡，并需要完全新的物理理论。他事实上是正确的。尽管他从未完全喜欢量子力学，但他关于光子（后来给出这个名字）的想法有助于建立这个理论。
物理学家们花了很长时间才接受光可以像粒子一样行为的观点。阿瑟·康普顿（1923年）的实验最终说服了大多数怀疑者。现在，在世界各地的实验室中都可以对光子进行常规操作，尽管它们还是很神秘的，但我们已经习惯了它们。可见光的每个光子携带的能量非常小，一个小型激光脉冲可以包含数十亿个光子。然而，我们的眼睛是一个非常好的光子探测器：在完全黑暗的情况下，只要有十个光子击中我们的视网膜，我们就能看到光。当我们说光像粒子一样行为时，我们指的是一个量子力学的粒子：一束能量和动量的小包，它不是由更小的包组成的。我们并不是指经典的点粒子或牛顿的小球体，后者是一个具有确定位置和速度的零尺寸对象。
实际上，一个光子的能量只取决于光的颜色。就像爱因斯坦发现的那样，一个光子的能量 E 和频率 ν 之间存在关系：
其中，h是普朗克常数。光子的频率决定了光的波长λ，其关系式为νλ = c，其中c是光速。例如，所有绿光子都具有相同的能量。如果要在保持相同颜色的光束中增加能量，只需要增加更多的光子即可。
正如我们现在要解释的那样，光子的存在意味着量子力学是不确定的。这意味着实验的结果不能像在经典物理中一样由实验者所控制的条件来确定。
考虑一个偏振器，其偏振方向沿着 x 轴，如图1所示。沿着 x轴线性偏振的光，即电场沿着 x方向的光，可以通过偏振器。如果入射光的偏振与 x 方向垂直，光根本不会通过。因此，沿 $y$ 方向线性偏振的光将被偏振器完全吸收。现在考虑一个与 x 轴成角度 alpha 偏振的光，如图2所示。会发生什么呢？
将光看作传播波，入射电场 E_alpha 与 x 轴成 alpha 角，因此它的形式为：
这是一个振幅为E0的电场。在这里我们忽略波的时间和空间依赖性；它们与我们的讨论无关。当这个电场碰到偏振器时，沿着xˆ方向的分量穿过，沿着yˆ方向的分量被吸收。因此，
你可能还记得电磁波中的能量与电场的大小的平方成正比。这意味着穿过偏振器的光束能量的比例是(cos α)²。同时，众所周知，从偏振器出射的光具有与入射光相同的频率。
到目前为止都好理解。但是现在，让我们尝试通过考虑组成入射光的光子来理解这个结果。这里的前提是，入射光束中的所有光子都是相同的。此外，光子彼此之间不相互作用。我们甚至可以想象一个接一个地发送整个入射光束的能量。由于所有从偏振器中发出的光具有与入射光相同的频率，因此我们必须得出结论，每个单独的光子要么通过，要么被吸收。如果光子的一部分通过，它将成为能量更低，因此频率更低的光子，而这是不会发生的。
但现在我们有了一个问题。正如我们从波的分析中了解的那样，大约 (cos α)² 的光子必须穿过，因为这是传输过去的能量的比例。因此，必须吸收 (1−cos²α) 的光子分数。但如果所有光子都是相同的，为什么一个光子发生的事情不会发生在所有光子身上呢？
答案在量子力学中是确实存在确定性的损失。没有人能够预测一个光子会穿过还是被吸收。最好的预测方式是预测概率。在这种情况下，光子通过的概率为(cos α)^2，不通过的概率为1 - (cos α)^2。
两个逃避路线呼之欲出。也许偏振器并不是一个均质物体，取决于光子命中的确切位置，它可能会被吸收或穿透。但实验表明这不是情况。爱因斯坦和其他人提出了一种更有趣的可能性：存在隐藏变量。光子虽然看似相同，但可能具有其他隐藏的属性，目前不理解，这些属性将确切地决定哪个光子穿过，哪个光子被吸收。隐藏变量理论似乎是无法测试的，但令人惊讶的是，它们可以被测试。通过约翰·贝尔和其他人的工作，物理学家们设计了聪明的实验，排除了大多数隐藏变量理论。没有人想出如何恢复量子力学的确定性。这似乎是一项不可能的任务。
当我们试图用量子力学描述光子时，可以使用波函数或等效的状态语言。沿xˆ方向偏振的光子不是用电场表示的，而是我们只是为其状态命名：
我们将学习操纵这些对象所需的规则，但暂时您可以将其视为尚未定义的某个空间中的向量。光子的另一个状态，或向量是：
我们现在声称，沿着方向α偏振的光子束中的光子处于一个状态|photon; α>，可以写成上述两个状态的叠加：
这个方程式应该和式(3.2)进行比较。虽然有一些相似之处——它们都是叠加态——但一个是指电场，而另一个是指单个光子的“态”。从偏振器中发出的任何光子都必然是沿着xˆ方向偏振的，因此它将处于状态
这个光子状态可以与（3.3）进行比较，其中带有余弦α的因子携带有关波的振幅的信息。在这里，对于单个光子，没有这样的因子的余地。
在1927年著名的第五次索尔维国际会议上，世界上最著名的物理学家聚集在一起，讨论新制定的量子理论。29位与会者中，17位成为或曾获得过诺贝尔奖。不满于量子力学中的不确定性，爱因斯坦说了如今著名的话：“上帝不会掷骰子。”而尼尔斯·玻尔据说回答道：“爱因斯坦，别再告诉上帝该怎么做了。”玻尔愿意接受失去确定性的情况，而爱因斯坦则不愿意。
4 Quantum Superpositions（量子叠加态）
我们已经讨论了线性的概念；即表示物理现实的两个解的总和表示一个新的、被允许的物理现实。在经典物理中，这些解的叠加有一个直观的含义。例如，在电磁学中，如果我们有两个解，每个解都有自己的电场和磁场，那么“和”解的含义就很简单：它的电场是这两个解的电场的总和，它的磁场是这两个解的磁场的总和。在量子力学中，正如我们所解释的，线性性质成立。然而，叠加态的解释是非常令人惊讶的。
一个有趣的例子是 Mach-Zehnder 干涉仪；这是一种由恩斯特·马赫和路德维希·泽恩德在 1890 年代用来研究两束光的干涉的光路安排，包括光束分束器、镜子和探测器。
一个分束器，顾名思义，将入射光束分成两束，一束从分束器反射，另一束穿过分束器。我们的分束器是平衡的：它们将给定的光束分成相等强度的两束（图3）。反射的光称为反射光束，穿过的光称为透射光束。入射光束可以从上面或下面击中分束器。
Mach-Zehnder装置如图4所示，有一个左侧的分光镜(BS1)和一个右侧的分光镜(BS2)。在它们之间，有两个镜子，顶部是M1，底部是M2。从左侧进入的光束被BS1分成两束，每束光线都照到一个镜子上，然后被送到BS2。在BS2处，光线被重新组合，并分为两束出射光，进入光子探测器D0和D1。
要安排光束分配器，使得从 BS1 分裂后，在 BS2 重新组合的入射光束出现在进入 D0 的顶部光束中，这个过程相当简单。在这种排列下，没有任何光线进入 D1。这需要在 BS2 处产生精确的干涉效应。请注意，我们具有
两束光线入射到 BS2，上面的光束称为‘a’，下面的光束称为‘b’。有两个贡献对 D0 有作用：‘a’在BS2的反射和‘b’在BS2的透射。这两个相互干涉以形成一个光束进入 D0。同样地，有两个贡献对 D1 有作用：‘a’在BS2的透射和‘b’在BS2的反射相互抵消。这两个贡献可以被安排成相互干涉以不形成进入 D1 的光束。
将入射光束看作是一个一个光子发射到干涉仪中是很有启发性的。这表明，在光子的层面上，干涉并不是一个光子与另一个光子的干涉。每个光子必须与自己发生干涉才能得到结果。实际上，两个光子之间的干涉是不可能的：例如，破坏性干涉需要两个光子最终没有产生任何光子，这违反了能量守恒定律。
因此，每个光子会做非常奇怪的事情，穿过干涉仪的两个分支！每个光子处于两个状态的叠加状态：一个状态是光子在顶部光束或上部分支中，加上一个状态是光子在底部光束或下部分支中。因此，干涉仪中的光子状态是一个有趣的状态，在这个状态中，光子似乎在同时做两件不兼容的事情。
方程（3.6）是量子叠加的另一个例子。光子态具有沿着x偏振光子和沿着y偏振光子的分量。
当我们提到波函数时，有时也称其为状态，因为波函数指定了我们的量子系统的“状态”。我们有时也将状态称为向量。量子态可能不像三维空间中的熟悉向量那样是一个向量，但它仍然是一个向量，因为可以将状态相加，并将状态乘以数字。就像可以将向量相加一样，线性性保证了将波函数或状态相加是一个合理的操作。就像任何向量可以以多种不同的方式写成其他向量的和一样，我们也会这样做。通过将物理状态写成其他状态的和，我们可以了解我们状态的属性。
请注意，现在考虑两个状态 |A> 和 |B>。此外，假设当在状态 |A> 中测量某个属性 Q 时，答案总是 a，当在状态 |B> 中测量相同的属性 Q 时，答案总是 b。现在假设我们的物理状态|Ψ> 是这两个状态的叠加。
如果我们现在测量态|Ψi所描述的系统中的某个属性Q会发生什么？或许得到a和b之间的某个中间值是合理的，但事实并非如此。对Q的测量将产生a或b中的一个，没有确定的答案，经典决定论丧失了，但答案总是这两个值之一，而不是中间值。上述叠加中的系数α和β影响我们可能获得两个可能值的概率。实际上，获得a或b的概率取决于这些系数的值。
由于只有测量a或b这两种可能性，实际概率必须加起来为1，因此它们由以下公式给出：
如果我们得到值a，则立即进行的重复测量将给出a，因此测量后的状态必须是|A>。 对于b也是如此，因此我们有
在量子力学中，人们做出了以下假设：将一个状态与自身叠加不会改变物理现象，也不会以非平凡的方式改变状态。因为将一个状态与自身叠加只是改变它的整体乘数，所以我们有 Ψ 和 αΨ 对于任何非零复数 α 都表示相同的物理现象。因此，让 ∼= 表示物理等价性。
这个假设是验证光子态偏振具有预期自由度的必要条件。如电磁学中所学，平面波的偏振由两个实数描述。为此，考虑一个椭圆偏振波，如图5所示。在任何给定点，电场矢量沿着一个椭圆运动，其形状由半长轴的比例a/b编码（第一个实参数），倾斜角度由角度θ编码（第二个实参数）。考虑一个由两个独立偏振态|photon：x> 和 |photon: y>叠加形成的一般光子态：
乍一看，似乎我们有两个复数参数α和β，或者等价地，四个实数参数。但是，由于整体因子并不重要，我们可以将该状态乘以1/α，以获得编码所有物理信息的等价状态。
这表明我们实际上只有一个复参数，即比率β/α。这等价于两个实参数，正如预期的那样。
让我们再用电子来做一个叠加态的例子。电子是具有自旋的粒子。经典上，我们将其想象为围绕通过粒子本身的轴旋转的微小球体。一旦一个轴被固定，电子只有两个选项：它的旋转可以顺时针或逆时针，但在两种情况下，它都以相同的固定速率旋转。这两种相反旋转的方式称为沿轴向的自旋向上和自旋向下（见图6）。向上和向下指的是与旋转相关的角动量的方向，它由一个箭头表示。根据量子力学，通过多次实验验证，无论我们用哪个轴来测量电子的自旋，都会出现相同的可能性，即自旋向上或自旋向下。
物理学家通常通过选择三个正交方向（即x轴、y轴和z轴的方向）来建立空间坐标系。让我们选择使用z轴来描述我们旋转的电子。一个电子的可能状态之一是沿着z轴自旋向上。这样的状态描述为| ↑ : z>，箭头指向上，标签z表示自旋箭头沿着增加的z方向。电子的另一个可能状态是沿着z轴自旋向下。这样的状态描述为| ↓ : z>，箭头指向下，这次表示自旋沿着减小的z方向。如果这两种情况是可能的现实，那么表示它们的状态|Ψi将是它们的和。
|Ψ> 表示旋转向上和旋转向下的叠加状态。这个叠加状态代表了什么样的物理现象？它代表了在沿 z 轴测量自旋时会有两种可能结果，旋转向上或旋转向下，并且这两种可能的概率相等。由于我们只能谈论概率，任何实验都必须重复进行，直到可以确定概率为止。假设我们有一个大量的这样的电子集合，所有电子都处于上述状态 |Ψ>。当我们逐个测量它们沿 z 轴的自旋时，大约一半会沿 z 轴旋转向上，另一半会沿 z 轴旋转向下。我们无法预测哪种选项将被实现，因为每个电子的测量结果都是随机的。超出我们的想象，但可以这样想象。处于上述状态的电子处于一种不同的存在状态中，在这种状态下，它既可以同时沿 z 轴旋转向上又可以同时沿 z 轴旋转向下！它处于这种幽灵般的、可怕的状态中，同时进行着不相容的事情，直到它的自旋被测量。一旦被测量，电子必须立即选择其中一种选项；我们总是发现电子既旋转向上，还是旋转向下。
量子力学的批评者可能会对上述观察提出更简单的解释。他或她可能会声称以下更简单的系列将产生相同的实验结果。在这个系列中，我们有大量的电子，原本上，其中50％处于状态|↑: z>，另外50％处于状态|↓: z>。他或她会正确地指出，这样的系列将产生与那些玄妙的|Ψi状态相同的沿z旋转测量结果。这个新系列可以提供更简单的解释，而无需引用量子叠加。
然而，量子力学允许进行进一步的实验，可以区分友好的批评家所说的集合和|Ψ>状态的集合。虽然我们不太能够解释这一点，但如果我们在x方向上测量电子的自旋，而不是在z方向上，那么两个集合的结果将会不同。在我们的批评家的集合中，我们会发现50％的电子朝上沿着x方向旋转，50％的电子沿着x方向向下旋转。然而，在我们的|Ψ>状态的集合中，我们会发现一个非常简单的结果：所有状态都指向x方向向上。批评家的集合与我们的量子力学集合不同。因此，批评家的错误尝试证明量子力学中的叠加不是必需的。
5 Entanglement（量子纠缠）
当我们考虑两个粒子的状态的叠加时，我们可以得到一个引人注目的现象，称为量子力学纠缠。两个粒子的纠缠状态是指我们无法单独描述每个粒子的状态。这些粒子在一个共同的状态中被捆绑在一起，在这个状态中它们相互纠缠。
让我们考虑两个不相互作用的粒子。粒子1可能处于以下任意一个状态中：
同样，粒子2可以处于以下任何状态之一：
看起来合理的结论是，包括粒子1和粒子2的整个系统的状态将由粒子1的状态和粒子2的状态来确定。如果是这样，可能的状态将被写成：
对于某些特定的i和j，它们分别指定了粒子一和粒子二的状态。我们使用符号⊗（表示张量积）将两个状态组合成整个系统的单个状态。我们将在后面学习⊗，但在此之前，我们可以将其视为一种乘积，它在加法上分配并遵守以下简单规则：
这些数字可以移动到 ⊗ 的两侧，但是状态的顺序必须保持不变。左侧的状态（在右侧展开）仍然是第一个粒子（α1u1 + α2u2）的一个状态与第二个粒子（β1、u1 + β2、u2）的一个状态相乘。和公式（5.3）中的任意一个状态一样，这个状态也没有纠缠。
利用（5.3）中的态，我们可以构建更为有趣的叠加态。我们将一个粒子的态与另一个粒子的态组合起来，得到以下的叠加态：
如果一个两粒子的状态不能被写成形如(···) ⊗ (···)的分解形式，那么这个状态就被称为纠缠态，因为这样的分解形式无法仅仅通过说明每个粒子的状态来描述这个状态。我们可以轻易地看出，式(5.5)不能被分解。如果能被分解，它只能是通过式(5.4)所示的乘积，显然，引入像|u3>或|v3>这样的状态是无法帮助我们的。为了确定常数α1、α2、β1、β2，我们将式(5.4)右边与我们的状态进行比较，然后得出我们需要
很显然，这里没有解决方案。例如，第二个方程要求α1或β2为零。有α1 = 0违反了第一个方程，而有β2 = 0违反了最后一个方程。这证实了状态(5.5)确实是一种纠缠态。没有办法通过指定每个粒子的状态来描述这个状态。
让我们使用电子和它们的自旋状态来说明上述讨论。考虑两个电子的状态，表示为| ↑>⊗ | ↓>。正如符号所示，第一个电子由第一个箭头描述，沿z方向为上，而第二个电子由第二个箭头描述，沿z方向为下（为了简洁起见，我们省略了状态的z标签）。这不是一个纠缠态。另一个可能的状态是它们恰恰相反：在| ↓i ⊗ | ↑i中，第一个电子是向下的，而第二个电子是向上的。这个第二个状态也不是纠缠态。现在，通过叠加，我们可以考虑状态
这是一对电子的纠缠态。
练习 证明上述状态不能被分解，因此确实是纠缠态。
在状态（5.7）中，如果第二个电子向下沿着z轴，那么第一个电子就会向上沿着z轴（第一项），或者如果第二个电子向上沿着z轴，那么第一个电子就会向下沿着z轴（第二项）。这两个粒子的自旋之间存在一种关联性；它们总是指向相反的方向。想象一下，这两个纠缠在一起的电子彼此非常遥远：Alice把其中一个电子带在地球上，而Bob则把另一个电子带在月球上。我们所知道的任何事情都没有连接这些粒子，但是电子的状态仍然是相互关联的。我们对单独的粒子所做的测量会呈现出一定的关联性。假设Alice测量了地球上的电子的自旋。如果她发现它向上沿着z轴，那么它意味着以上超态中的第一项实现了，因为在那个式子中，第一个粒子是向上的。如前所述，两个粒子的状态会立即变成第一项的状态。这意味着月球上的电子会瞬间进入自旋向下沿着z轴的配置，Bob可以通过他实验室中的那个粒子来证实这一点。在信息传递速度为光速的情况下，Alice进行测量并得到自旋向上的结果之前，Bob的电子已经发生了这种自旋翻转。当然，实验必须用包含许多处于同一纠缠态的粒子对的总体来完成。地球上的电子一半的时间会被发现是向上的，而月球上的电子会被发现是向下的；而另一半的时间则是地球上的电子向下，月球上的电子向上。
我们友好的批评家现在可以正确地说，沿z方向的自旋测量之间的这种相关性可能是通过准备传统的集合，在其中50％的对处于状态| ↑> ⊗ | ↓>，另外50％的对处于状态| ↓> ⊗ | ↑>中产生的。 1964年，约翰·贝尔对此类异议进行了最终的处理，他表明，如果Alice和Bob能够在三个任意方向上测量自旋，则量子纠缠态预测的相关性与任何可以想象的传统集合的经典相关性不同。量子纠缠态中的量子相关性非常微妙，需要精密的实验来证明它们不能作为经典相关性重现。实际上，纠缠态实验证实了量子相关性的存在。与分离的纠缠粒子上的测量相关联的瞬时作用不会导致悖论，也不会与狭义相对论的思想产生矛盾。你不能使用量子力学的纠缠态来以超光速发送信息。
（第一节到第五节-完结）
