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【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep42】数列性质又一波攻势~

2019-05-22 22:24 作者:躺坑老碧的学习瞎记  | 我要投稿

在Ep40把汤老师的名字打错了,尴尬。——这个系列常常收藏数超过点赞数,略微喜感啊!

今天按计划来聊聊收敛数列的运算性质,接着再简要叙述一下“不定式”的概念,明天就又是愉快的习题时刻了。

这几期的内容都比较基础简单,不过在《高等数学》中很重要,以及在后续理论的介绍中也会发挥重要作用,所以还是有必要好好消化的。

很快我们就要遭遇,“实数理论”之后的第一发小难点了,就在下回习题之后,所以兄dei们,咱们打起精神来!

再复述一下收敛数列性质的分类(汤家凤老师的说法)——

  1. 基本性质——就是我们直接从数列极限定义可以推理出来的性质

  2. 运算性质——我们意识到数列的本质是一种特殊的运算,既然每一个收敛数列对应一个确定的数字,那么我们自然会想到数列能不能进行实数的加减乘除等运算

    有没有发现,仿佛收敛数列也可以定义实数?——没错,这就是柯西定义实数的思路,将极限相同的数列视为一类,然后每一类数列就与实数实现了一一对应

    所以,收敛数列的运算性质,也可以看作是对实数这个定义合理性的验证

  3. 存在性质——又叫做数列收敛的判别法,就是判断数列收敛的依据。——这部分内容很重要,除了昨天我们介绍过的“夹逼准则”,剩下的几个定理就是“实数完备性的六条基本定理”,我们不仅要学证明,还要掌握这几个定理的各种互推,所以会放在后面重点讨论。

我们今天来聊第二类——收敛数列的运算性质——

30变量的算术运算

极限的加减乘除即是——由两个已知数列得到第三个数列:以加法为例,{an}+{bn}={cn},其中各项均满足an+bn=cn

先说明了获得收敛数列的运算性质的好处之一——

推出了收敛数列的算术性质,求极限的问题,过程因而大为简化。


1.收敛数列的和/差的极限——

——收敛数列的和的极限=极限的和;收敛数列的差的极限=极限的差——

我们也只讨论两项相加的情况,减法同理,更为复杂的情形,模仿Ep40中第一个引理——“任意有限项无穷小的和仍然为无穷小”的证法——

首先我们复习Ep34收敛数列的第二定义,即无穷小定义——一个收敛数列可以表示成一个常数和一个无穷小的和——

  1. 对任意收敛数列{an}、{bn},则存在无穷小{cn}、{dn}使得an=a+cn,bn=b+dn——其中a、b为{an}、{bn}的极限;

  2. an+bn=(a+cn)+(b+dn)=(a+b)+(cn+dn);

  3. 由上面黄字,我们知道cn+dn是一个无穷小,而a+b为一个常数;

  4. 于是数列{an+bn}为收敛数列,极限为a+b,证毕。

2.收敛数列的积的极限——

——收敛数列的积的极限=极限的积——

这里我们先复习Ep37中收敛数列的基本性质之一——“有界性:收敛数列必有界”;

然后还要用到Ep40中我们介绍的第二个引理——“有界数列和无穷小的乘积仍是无穷小”——

  1. 对任意收敛数列{an}、{bn},则存在无穷小{cn}、{dn}使得an=a+cn,bn=b+dn——其中a、b为{an}、{bn}的极限;

  2. an*bn=(a+cn)*(b+dn)=ab+a*dn+b*cn+cn*dn

  3. 由上面黄字我们知道上式右边后三项均为无穷小它们的和依然是无穷小

  4. 于是数列{an*bn}为收敛数列,极限为ab,证毕。

3.收敛数列的商的极限——

——收敛数列的商的极限=极限的商——其中{bn}的极限b不为0——

依然用到,Ep37中收敛数列的基本性质——“局部保号性:如果数列极限大于(小于)0,那么存在自然数N,使得n>N之后,数列各项都大于(小于)0”;“有界性:收敛数列必有界”;

然后还要用到Ep40中我们介绍的第二个引理——“有界数列和无穷小的乘积仍是无穷小”——

  1. 对任意收敛数列{an}、{bn},则存在无穷小{cn}、{dn}使得an=a+cn,bn=b+dn——其中a、b为{an}、{bn}的极限;

  2. {bn}的极限b不为0,则存在自然数N,使得n>N之后,{bn}各项都不为0,即|bn|>0

  3. 实数稠密性存在正实数r,使得|bn|>r>0,则1/|bn|<1/r

  4. an/bn=a/b+an/bn-a/b

  5. an/bn-a/b=(a+cn)/(b+dn)-a/b=(ab+b*cn-ab-a*dn)/[bb+dn)]=[1/(b*bn)]b*cn-a*dn);

  6. 由黄字部分可知b*cn-a*dn为无穷小;

  7. 由3可知|1/(b*bn)|=1/(|b||bn|)<1/(|b|r),即1/(b*bn)为有界量;

  8. 由6、7,得知5中右式为无穷小;

  9. 于是由4、5可知,数列{an/bn}为收敛数列,极限为a/b,证毕。

于是以后求复杂些的数列极限就简易多了!



至此我们讨论了收敛数列的运算性质,下面我们再稍微介绍一下一些特殊的不收敛数列之间的运算(无穷大),或者,收敛数列之间的特殊运算(如分母数列极限为0),了解一下“不定式”的概念——

31不定式

常见的不定式有四种——

1.0/0型——

即分子分母的数列极限都为0,大多数这种类型的题目都用泰勒公式;


2.∞/∞型——

即分子分母的数列极限都为无穷大,只要牢记无穷大的倒数为无穷小:1/∞,就可以将这种类型转化为0/0型,也用泰勒公式;


3.0*∞型——

方法同上,0*=0/0;


4.∞-∞——

这个一般还是用泰勒公式比较两个数列的变化速度快慢即可。

明天就是第二次习题了!不见不散!

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