【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep42】数列性质又一波攻势~

在Ep40把汤老师的名字打错了,尴尬。——这个系列常常收藏数超过点赞数,略微喜感啊!
今天按计划来聊聊收敛数列的运算性质,接着再简要叙述一下“不定式”的概念,明天就又是愉快的习题时刻了。
这几期的内容都比较基础简单,不过在《高等数学》中很重要,以及在后续理论的介绍中也会发挥重要作用,所以还是有必要好好消化的。
很快我们就要遭遇,“实数理论”之后的第一发小难点了,就在下回习题之后,所以兄dei们,咱们打起精神来!
再复述一下收敛数列性质的分类(汤家凤老师的说法)——
基本性质——就是我们直接从数列极限定义可以推理出来的性质;
运算性质——我们意识到数列的本质是一种特殊的运算,既然每一个收敛数列对应一个确定的数字,那么我们自然会想到数列能不能进行实数的加减乘除等运算;
有没有发现,仿佛收敛数列也可以定义实数?——没错,这就是柯西定义实数的思路,将极限相同的数列视为一类,然后每一类数列就与实数实现了一一对应;
所以,收敛数列的运算性质,也可以看作是对实数这个定义合理性的验证;
存在性质——又叫做数列收敛的判别法,就是判断数列收敛的依据。——这部分内容很重要,除了昨天我们介绍过的“夹逼准则”,剩下的几个定理就是“实数完备性的六条基本定理”,我们不仅要学证明,还要掌握这几个定理的各种互推,所以会放在后面重点讨论。
我们今天来聊第二类——收敛数列的运算性质——
30变量的算术运算
极限的加减乘除即是——由两个已知数列得到第三个数列:以加法为例,{an}+{bn}={cn},其中各项均满足an+bn=cn。
先说明了获得收敛数列的运算性质的好处之一——

推出了收敛数列的算术性质,求极限的问题,过程因而大为简化。
1.收敛数列的和/差的极限——


——收敛数列的和的极限=极限的和;收敛数列的差的极限=极限的差——

我们也只讨论两项相加的情况,减法同理,更为复杂的情形,模仿Ep40中第一个引理——“任意有限项无穷小的和仍然为无穷小”的证法——
首先我们复习Ep34收敛数列的第二定义,即无穷小定义——一个收敛数列可以表示成一个常数和一个无穷小的和——
对任意收敛数列{an}、{bn},则存在无穷小{cn}、{dn}使得an=a+cn,bn=b+dn——其中a、b为{an}、{bn}的极限;
an+bn=(a+cn)+(b+dn)=(a+b)+(cn+dn);
由上面黄字,我们知道cn+dn是一个无穷小,而a+b为一个常数;
于是数列{an+bn}为收敛数列,极限为a+b,证毕。
2.收敛数列的积的极限——

——收敛数列的积的极限=极限的积——

这里我们先复习Ep37中收敛数列的基本性质之一——“有界性:收敛数列必有界”;
然后还要用到Ep40中我们介绍的第二个引理——“有界数列和无穷小的乘积仍是无穷小”——
对任意收敛数列{an}、{bn},则存在无穷小{cn}、{dn}使得an=a+cn,bn=b+dn——其中a、b为{an}、{bn}的极限;
an*bn=(a+cn)*(b+dn)=ab+a*dn+b*cn+cn*dn;
由上面黄字我们知道上式右边后三项均为无穷小,它们的和依然是无穷小;
于是数列{an*bn}为收敛数列,极限为ab,证毕。
3.收敛数列的商的极限——

——收敛数列的商的极限=极限的商——其中{bn}的极限b不为0——


依然用到,Ep37中收敛数列的基本性质——“局部保号性:如果数列极限大于(小于)0,那么存在自然数N,使得n>N之后,数列各项都大于(小于)0”;“有界性:收敛数列必有界”;
然后还要用到Ep40中我们介绍的第二个引理——“有界数列和无穷小的乘积仍是无穷小”——
对任意收敛数列{an}、{bn},则存在无穷小{cn}、{dn}使得an=a+cn,bn=b+dn——其中a、b为{an}、{bn}的极限;
由{bn}的极限b不为0,则存在自然数N,使得n>N之后,{bn}各项都不为0,即|bn|>0;
由实数稠密性,存在正实数r,使得|bn|>r>0,则1/|bn|<1/r;
an/bn=a/b+(an/bn-a/b);
an/bn-a/b=(a+cn)/(b+dn)-a/b=(ab+b*cn-ab-a*dn)/[b(b+dn)]=[1/(b*bn)](b*cn-a*dn);
由黄字部分可知b*cn-a*dn为无穷小;
由3可知|1/(b*bn)|=1/(|b||bn|)<1/(|b|r),即1/(b*bn)为有界量;
由6、7,得知5中右式为无穷小;
于是由4、5可知,数列{an/bn}为收敛数列,极限为a/b,证毕。
于是以后求复杂些的数列极限就简易多了!
至此我们讨论了收敛数列的运算性质,下面我们再稍微介绍一下一些特殊的不收敛数列之间的运算(无穷大),或者,收敛数列之间的特殊运算(如分母数列极限为0),了解一下“不定式”的概念——
31不定式

常见的不定式有四种——
1.0/0型——


即分子分母的数列极限都为0,大多数这种类型的题目都用泰勒公式;
2.∞/∞型——

即分子分母的数列极限都为无穷大,只要牢记无穷大的倒数为无穷小:1/∞,就可以将这种类型转化为0/0型,也用泰勒公式;
3.0*∞型——


方法同上,0*∞=0/0;
4.∞-∞——

这个一般还是用泰勒公式比较两个数列的变化速度快慢即可。

明天就是第二次习题了!不见不散!