无穷大，无穷大的性质

牛顿311、无穷大，无穷大的性质

2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。

…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

图片内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

无穷大

…无、穷、无穷，大：见《牛顿310》…

 

无穷大（百度百科）： 

数学定义

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

定义1 （直观定义） 绝对值无限增大的变量称为无穷大。

…直观：见《牛顿220》…

…变、量、变量：见《欧几里得29》…

 

定义2 （直观定义）

设函数f（x）在|x|大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数X，只要|x|>X（即x趋于无穷），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→∞时的无穷大。

定义3

设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ，只要x适合不等式0<|x-x0|<δ，对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→x0时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f（x）为无穷大，则1/f（x）为无穷小；反之，f（x）为无穷小，且f（x）在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f（x）才为无穷大。

…变、化、变化：见《伽利略10》…

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。

（无穷大是变量，很大的数是常数。

…常、数、常数：见《欧几里得132》…）

 

当x>0且无限增大时，函数f（x）无限趋于一个常数A，则称当x→+∞时函数f（x）以A为极限，记作

﹙x→+∞﹚lim f（x） =A或f（x）→A﹙x→+∞﹚。

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。

v.限制；限定；限量；减量…]

 

当x<0且x的绝对值无限增大时，函数f（x） 无限趋于一个常数A，则称当x→－∞时函数f（x） 以A为极限，记作

（x→－∞）lim f（x） ==A或f（x）→A﹙x→－∞﹚。

分类

…分、类、分类：见《牛顿114》…

 

无穷大分为正无穷大、负无穷大，分别记作+∞、-∞，非常广泛的应用于数学当中。

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

 

性质

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

 

两个无穷大量之和不一定是无穷大；

例：

有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；

有限个无穷大量之积一定是无穷大。

…积：见《牛顿19》…

 

为什么有限个无穷大的积仍为无穷大量？——网友提问

 

行走清河南北：

这是可以证明的。也是很显然的。大数乘大数，积的绝对值越来越大。

发布于 2020-10-30

有限个无穷大的乘积仍然是无穷大吗？——网友提问

 

2014-05-09 17:40，回不到从前：恩，，，可以把其中一个无穷大当成无穷大，其余有限个减小到常数k。。。。这样还是无穷大。

“最早关于无限的记载出现在印度的《夜柔吠（fèi）陀》（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

请看下集《牛顿312、求和符号∑（sigma）；将8水平置放成“∞”来表示“无穷大”符号》”

 

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