参数方程，计算长度的利器（2016四川圆锥曲线）

2022-09-07 00:42 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2016四川，20）已知椭圆 $E$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）的两个焦点与一个短轴的端点是直角三角形的 $3$ 个顶点，直线 $l$ ： $y%3D-x%2B3$ 与椭圆有且只有一个公共点 $T$ .

（1）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；

（2）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l'$ 平行于 $OT$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ ，证明：存在实数 $%5Clambda%20$ ，使得 $%5Cleft%7C%20PT%20%5Cright%7C%5E2%3D%5Clambda%20%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C$ ，并求出 $%5Clambda%20$ 的值.

解：（1）由题可知 $b%3Dc$ ，

所以 $a%5E2%3Db%5E2%2Bc%5E2%3Db%5E2%2Bb%5E2%3D2b%5E2$ ，

所以椭圆 $E$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2b%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ ，

与直线 $l$ 联立得

$3x%5E2-12x%2B18-2b%5E2%3D0$ ，

由题可知

$%5CvarDelta%20%3D12%5E2-4%5Ctimes%203%5Ctimes%20%5Cleft(%2018-2b%5E2%20%5Cright)%20%3D0$ ，

解得 $b%5E2%3D3$ ，

所以椭圆 $E$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B3%7D%3D1$ ，

同时，所联立方程即为

$3x%5E2-12x%2B18-2%5Ctimes%203%3D0$ ，

化简得 $x%5E2-4x%2B4%3D0$ ，

解得 $x%3D2$ ，

所以 $y%3D-2%2B3%3D1$ ，

所以点 $T$ 的坐标为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%202%2C1%20%5Cright)%20%7D$ .

（2）先画图

设点 $P$ 的坐标为 $%5Cleft(%20m%2Cn%20%5Cright)%20$ ，则

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20PT%20%5Cright%7C%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%20%5E2%2B1%7D%5Cleft%7C%20m-2%20%5Cright%7C%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%5Cleft%7C%20m-2%20%5Cright%7C%7D$ .

易知 $k_%7BOT%7D%3D%5Cfrac%7B1-0%7D%7B2-0%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$

所以直线 $l'$ 的斜率亦为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ，

所以 $l'$ 的参数方程可设为 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3Dm%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7Dt%2C%5C%5C%09y%3Dn%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7Dt%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

（ $t$ 为参数），

与椭圆 $E$ 联立，得

$%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7Dt%5E2%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Ccdot%20t%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B3%7D-1%20%5Cright)%20%3D0$ ，

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%26%3D%5Cleft%7C%20t_1%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20t_2%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20t_1t_2%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D5%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B3%7D-1%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D5%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%203-m%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B3%7D-1%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cleft(%20m-2%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PT%20%5Cright%7C%5E2%7D%7B%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20m-2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cleft(%20m-2%20%5Cright)%20%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D$ .

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Clambda%20%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%7D$ .

题外话：此题命题背景为椭圆中的“切割线定理”.

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