2023数分每日一题学习感悟-Day55（幂级数：求幂级数展开式）

总体感受：这一节学习可以很好的复习与记忆幂级数展开式，比如说sinx，cosx等。可以很好利用这个机会去复习掌握。

总体思路：对于求幂级数的展开式，要么逐项微分，要么逐项积分。

一、中山大学

思路：先去考虑积分，最后再逐项求导得出f(x)的幂级数展开式。

注意点：

1、就是这个凑的功底，凑出一个可以用分部积分的状态

2、arctanx的幂级数展开式要熟悉。如果不熟悉，可以利用最常见的等比级数的展开式：Σx^n=1/(1-x)(n从0开始),对于这个x可以进行一系列改变，最终得到想得到的，最后再求个积分。

针对这里的arctanx,它求导之后为1/(1+x^2),这个(-x^2)就相当于Σx^n=1/(1-x)中的x，代入之后再求积分，便可以得到arctanx的幂级数展开式了！！

二、东北师大

出处：源于课本中对lnx的展开式。

第一问思路：

1、可以对比Day54天太原理工那题，还是把那一项看成一个整体，记作t。然后用t解出关于x的表达式，再根据x的范围求出t的范围。

2、把原式用t展开，对于基本的ln(1+t)与ln(1-t)的幂级数展开式写出来。最后把t换元成为x即可。

第二问思路：利用端点法以及若函数项级数一致收敛，则其极限也收敛的原理来做即可。利用反证法，由于调和级数发散，所以原来的函数项级数在该区间内不一致收敛。

端点法定义：若∑uₙ(x)在(a,b)一致收敛，且每个uₙ(x)在[a,b)上连续，则∑uₙ(x)在[a,b)上一致收敛，特别地∑uₙ(a)收敛(另一个端点也有类似的)。

注意点：特别注意，第二问这里的极限指的是x→+∞，而非n

三、中国海洋大学

这题简单。

思路：

1、只要利用两角和的正弦公式把sinx写成sin[(x-π/6)+π/6]展开（相当于把x写成[(x-x0)+x0]

2、熟知sinx与cosx幂级数展开式就可以做出。

四、西北大学

整体思路还是去想逐项求导或者是逐项求积分，但这里去逐项求积分困难，所以对他求导

第一问具体做法：

1、对于f(x)求导，结果需要利用一下等比级数的展开式。

2、想用上Newton-Leibniz公式，需要知道f(x)以及f(0)，利用该公式，便可得到f(x)。

第二问具体做法：

观察需要求的这个无穷级数与我得到的f(x)这个无穷级数的关系，发现(-1)^n和1/(2n+1)都有，差就差在这个4^n，想办法用x^(2n+1)干掉，发现x^(2n+1)可以写成x*x^(2n),只要令x=1/2,便可得到想得到的无穷级数，同时注意到f(1/2)=0,便可得到题目要求的无穷级数。

本题启示：对于Newton-Leibniz公式有了一个新的认识，可以帮助我认识到Day54中太原理工那题的利用幂级数的逐项微分性质中有一步的理解。想明白了。

怎么说呢，放一放，往前看，之前的疑惑也说不定能得到解答。