当一切都要从零开始，麻烦总是源源不断---ζ!Gaster

真无穷/实无穷/超无穷

Berkeley基数

在集合论中，伯克利基数是Hugh Woodin于 1992 年左右在加州大学伯克利分校的研讨会上提出的某些大基数。

Berkeley 基数是Zermelo -Fraenkel 集合论模型中的基数κ，具有以下性质：对于包含κ和 α < κ 的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α <临界点< κ . Berkeley基数是比Reinhardt 基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有(Vκ, R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的

j1, j2, j3, ...

j1: (Vκ, ∈) → (Vκ, ∈),

j2: (Vκ, ∈, j1) → (Vκ, ∈, j1),

j3: (Vκ, ∈, j1, j2) → (Vκ, ∈, j1, j2),

等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内，无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

尽管所有这些概念都与 Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZFC) 不相容，但它们的ΠV2结果似乎不是假的。与 ZFC 在断言方面没有已知的不一致，例如：

对于每个序数λ，存在一个 ZF + Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。

莱因哈特基数

Kunen  ( 1971 ) 证明了他的不一致定理，表明存在一个初等嵌入{\displaystyle j:V→V与选择公理的NBG相矛盾（并且 ZFC 扩展为j). 他的证明使用了选择公理，而这样的嵌入是否与没有选择公理的NBG（或ZF加额外符号一致仍然是一个悬而未决的问题j及其伴随的公理）。

Kunen定理不仅仅是 Suzuki ( 1999 ) 的结果，因为它是 NBG 的结果，因此不需要假设j是一个可定义的类。另外，假设0^#存在，则存在传递模型的基本嵌入MZFC（实际上是 Goedel 的可构造宇宙L) 进入自身。但是这样的嵌入不是M.

Reinhardt基数有一些变体，形成了断言基本嵌入存在的假设层次结构V→V.

超级莱因哈特基数是κ这样对于每个序数α, 有一个初等嵌入j:V→V和j(κ)>α并且有临界点κ.

J3：存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V

J2：存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V和直流DCλ持有，在哪里λ是临界点以上的最小不动点。

J1：对于每个序数α, 有一个初等嵌入j:V→V和j(κ)>α并且有临界点κ.

J1 和 J2 中的每一个都立即暗示J3。基数κ正如在 J1 中一样，被称为超级莱因哈特基数。

我们都知道，像Berkeley基数这种真类不具备一致性，它们与ZF相冲突，不过在此所构造出的实无穷并不需要考虑这一点，因为它并没有解决一致性和不一致。

根据力迫公理，对于大基数往往只能限制。大基数公理没有极限，而在此真无穷被定义为大于任何大基数的无穷。

真无穷被定义为一个超越一致性与不一致，所有已被或未被构造的大基数和冯诺依曼宇宙v的超无穷(一个超无穷成立的前提就是它自身必须超越数学一致性所能认定的最大无穷概念)，它包含且大于任何大基数概念，如果把一致性和不一致分别归类为2个没有交集的合集，那么无论把任何大基数概念和内模型封装都无法抵达真无穷，真无穷就是所有大数所无法抵达的一个层级

而它可以被继续压缩为一个空集，从它为基础可以继续按照0，1，2，3...直到ℵ0，ℵ1，ℵ2...不可达基数...，冯诺依曼宇宙v，然后定义真无穷真无穷来超越之前的迭代阶梯，这个过程可以一直持续下去，真无穷真无穷真无穷...

不可达层级

而在真无穷真无穷真无穷...个真无穷真无穷真无穷也无法抵达的层级就是不可达层级

现实

如图所示，一个现实包含真无穷真无穷真无穷个不可达层级，你可以把不可达层级之间的关系认定为是无穷多上下都无法互相抵达的阶梯，不可达层级之间的差距是如此巨大，以至于它们近乎于无法相互影响

亚现实

亚现实小于真无穷，它们是处于现实中且具有自身的亚不可达层级的现实

叙事

叙事包容无限现实所构成的不可达层级构造迭代阶梯，它可以被作为更大的单位去构成超叙事