用共点引双线的同构思想证明椭圆中斜率等差数列关系

这是很有名却用普通联立韦达定理很难证明的一个二级结论 常出现在各类模块圆锥曲线第二问中我们利用同构思想来给出一个非常简单的证明 首先介绍一下我们要证明的这个二级结论也就是 k1+k2＝k中

这就是我们要证明的结论 CDM三者均为互有关系的动点 简单谈一下思路 我们先设出AB的方程x等于my+b1 再设MA MB的方程为y等于k（x-b2）+y0（y0为m点纵坐标） 然后解出他们的交点 发现A B两点共同满足交点的表达式 再用交点在椭圆上得到关于k二次方程 则该方程两根k1与k2表示MA和MB（这个同构思想和抛物线中阿基米德三角形很相似）

这是第一步我们先解出AB共同满足的交点表达式 下一步就是带入椭圆方程中整理了

因为x1加x2等于负a比b所以我们不管常数项 只整理和k有关的就行 然后就完成了证明。用同样的方法可以证明双曲线也有这个性质 我们放在下一期 补充一下把一般情况换成具体数字的运算过程