你真的了解芝诺悖论？从逻辑角度展开讨论

  芝诺是生活在公元前五世纪的古希腊人，他和老师巴门尼德都属于爱丽亚学派。爱丽亚学派的基本思想是否认世界的运动变化，芝诺先后提出了多个著名悖论来支持这些思想。据说，他建立的悖论约有四十个[[1]]，如今流传的不到十个。芝诺所提出的论证大部分依靠其他思想家的记载得以保存。亚里士多德在《物理学》当中讲述了芝诺的四个悖论，如今被称为“芝诺悖论”。芝诺悖论当中的前两个，“二分法悖论”和“阿克琉斯悖论”讨论了连续时空下运动不可能，后两个“飞矢不动”和“运动场悖论”则讨论了间断时空下的运动不可能。

  阿克琉斯悖论就是这四个悖论当中最为有名的，有时也被叫做芝诺悖论。为了不与包含四个悖论的芝诺悖论混淆，这里将它称为阿克琉斯悖论。阿克琉斯是古希腊神话中善于跑步的神，乌龟是人们普遍认为移动缓慢的动物。如果让他站在乌龟身后一段距离，然后和乌龟同时起跑，那么当阿克琉斯跑到乌龟原本所在的地方时乌龟已经往前移动了一段距离。当阿克琉斯继续向前跑，再次到达刚刚乌龟停留的地点时，乌龟又往前移动了一小段。如此循环，尽管阿克琉斯和乌龟的距离在不断缩短，他却始终不能追上乌龟[2]。

  这个故事所给出的结论显然是荒谬的，但它所依据的推论却是合理易懂的，这使阿克琉斯悖论为人所熟知。芝诺正因此得以宣扬自己运动实际并不存在的思想。这也吸引后人从逻辑学、数学和物理学等方面寻找问题的解。尽管现代量子力学已经求得了时间和空间的最小可测尺度，数学家也早就接受了“无穷”概念的存在，但本文要从逻辑学的角度来尝试讨论一下阿克琉斯悖论本身存在的问题。

  在讨论阿克琉斯悖论之前不妨先看一下与其同胞的二分法悖论，它讨论了更为简单的孤立物体的运动。假如一个物体要从现在所处的点到达某点，那么它必须先到达路程的二分之一处；要到达路程的二分之一处，就必须先到达四分之一处，那它又必须先到达八分之一处、十六分之一处……这样的二分无限进行下去，物体就必须在运动时间内到达无限个点。但是在有限时间内完成无限多的任务是不可能的，所以物体不可能到达目的地，它甚至根本不能离开起点。这样看来阿克琉斯和乌龟的赛跑可能根本不会开始。

  问题出在哪里？或许我们可以从芝诺希望论证的另一个论题看到一些解题的端倪，即“多个事物不存在”。从这个想法引出的就是芝诺借助无限二分的距离否定了空间，或者说事物无限分割的可能性。暂且不管芝诺的想法是否确实如此，但我们确实是相信空间是可以无限二分的。尽管在物理学上，将某物分割到分子或原子级别后它就失去了本性，再进行分割则会遇到基础粒子不能分割的问题。但是对于距离，仍然可以假想心智上的二分来讨论空间的问题。可是回到阿克琉斯的赛道上，假如跑道无限可分，那无限个有限大小的长度不是一定会组成无穷远的路程吗？答案显然是否定的。我们可以用简单的微积分求和来证明1/2+1/4+1/8+……一直无穷加下去，所得的和将会是1。这一问题已经被几百年前的数学家回答。也正因此芝诺常常被嘲笑为不懂数理的小丑。

  但可惜，芝诺是个十分聪明的人。尽管 “多不存在”的想法被驳倒了，但是阿克琉斯悖论本身却并没有被直接证谬。因为既然多是存在的，路程是无限可分的，阿克琉斯如何能在有限时间内走过无限多的点呢？罗素曾经提出一种假设，假如一个人通过练习对自己的任务越来越熟练，完成一份任务所花的时间不断减半，那么他将能在有限的时间里完成无限多的任务[3]。尽管这种假定“在医学上是不可能的”，但在逻辑上却是可行的。如果无法证明罗素的想法是错误的，那罗素的逻辑就可以用来解决芝诺的运动问题。亚里士多德的观点是，如果时间和空间一样是可以无限分割的，那么将一段时间无限二分，分出来的每一段时间用于走过对应的路程，就可以在限定时间内实现运动了。这样的反驳初看来是很精巧的，但是该论证从一开始就假定了一段足以完成任务的时间，继而在最后得出了可以在一段时间内走完路程的结论，所以论证显然是不成立的。对于阿克琉斯悖论，亚里士多德认为，既然阿克琉斯是在沿着乌龟的路线追逐，那他必然要慢于乌龟一段（不管多么小的）距离，以保证乌龟的路线能够确定。所以假如允许阿克琉斯领先乌龟一段（不管多么小的）距离的话，悖论就不成立了。但是这样的想法显然只是避开了芝诺的推理，并没有解决问题的实质。

  对于二分法悖论，亚里士多德后来也提出了另一个思路。即芝诺的无限分割是潜在的，即便在逻辑上可行，这样的分割也是潜在的、不现实的。这仿佛和罗素的“医学不可行但逻辑可行”异曲同工。结合上段对阿克琉斯悖论的反驳，我们可以建立一个思维模型：

  Z点是整个跑道的起点，Z*作为终点，两点之间的中间点作为Z1，Z1和Z*之间的中点作为Z2，以此类推地确定Z3 Z4 Z5……等一系列的点[4]。

  假如忽视乌龟的存在，阿克琉斯要跑完这样的一段路，显然要先经过无限多的点。可能Z*的假设有点类似亚里士多德对二分悖论的第一个回应，即先假定任务可以在一定时间完成再证明任务确实可以完成。但是二者存在逻辑上的差别，Z*尽管是阿克琉斯追上乌龟的位置，但他却必须先穿过Zn序列才能到达Z*。这与亚里士多德无条件地假设一段足够长的时间是不同的。在前面的论述中已经说明过，逻辑上在有限时间内完成无限任务不是不可能的。那么现在我们将矛头转向此问题的另一个顾虑：阿克琉斯有可能经过无穷个Zn之后到达终点吗？换个问法，经过所有Zn序列上的点是到达Z*的充分条件吗？由于Z*处在Zn序列之外，因此即使阿克琉斯就算穿过了Zn序列他也不一定在Z*，也就始终无法到达终点。

  这样的论证在数学上看是合理的。此处Zn序列的点的确定不过是为了建立“无穷多个点”的假定，Zn并不一定是位于Zn-1和Z*之间的中点，在Zn之后Z*之前的任何位置找到的点总可以作为Zn+1存在，如此一来阿克琉斯的位置就很难确定了。Zn序列构成的线变成了一段有长度但是缺少一个端点的线。但是不难发现，任何一个Zn点的确定都离不开Z*的存在，尽管Z*不属于Zn序列。Zn序列在哪里？无论怎样修改Zn序列的语言描述，我们总是不可避免地回答“Zn序列在Z和Z*之间的区域”。如同在测量物理长度时我们必须确定一段距离的两点一样，为了确定阿克琉斯要走过的路程，即Zn序列，就要约定Z*这个点既不属于Zn序列，又标定了Zn序列的空间区域的一端。数学上Zn序列根本就不存在最后的元素，在确认Z*之后我们才确定了跑道的长度。那么穿过数学概念的Zn序列所对应的物理长度，自然也就到达了Z*。所以在从数学概念上的Zn序列，到物理意义上的Z到Z*之路的过程中，发生了一次对应。这个对应使在数学上不具有大小的Zn序列点和跑道上表示位置的物理长度端点对应起来。在这个对应过程中如果忽视了从数学概念到物理实际的跨越，就无法走出困境。从这一观点看，充分条件问题的答案显然就是肯定的了，即跨过Zn序列之后，阿克琉斯可以到达Z*。

  再回到阿克琉斯和乌龟的赛跑上，再次如上建立一个模型。不过此时Z*的位置假定为阿克琉斯追上乌龟的位置，Z1设为乌龟出发的位置，Z2为阿克琉斯处在Z1时乌龟所处的位置，依次类推地确定Zn序列。这样就建立起了新的Zn序列和跑道，区别仅仅在于Z*是随着乌龟移动的。情况和前述一样，经过数学和物理概念上的跨越，乌龟和阿克琉斯在某个时间同时通过了Zn序列，二者同一时间到达了Z*。

  尽管芝诺本人的所想所说已经佚失多年，但他所留下的思想却在不断激励后人思考空间、时间以及运动的本质。微积分的建立肯定了时空无穷分割的可行性，也创立了一门独立的数学学科。现代量子物理的研究证明了普朗克长度（大约是1.616x10-35m）[5]是可以测量的最小长度单位，任何小于普朗克长度的情况都是无法观测和讨论，也是没有物理理论可以适应的。于是阿克琉斯和乌龟之间的距离也不可能小于普朗克长度。千年之后，这位古希腊英雄终于可以追上乌龟了。人类对于时空，对于无穷大与无穷小的探索始终不会停息。或许在遥远的将来，就像量子力学取代经典力学成为运动原理的基石一样，会有一种新的科学体系，使普朗克长度之下的空间能以某种方式被我们看到。

[1] 李大凯.基于时空连续的芝诺悖论的逻辑分析[J].哈尔滨师范大学社会科学学报,2014,5(03):11-13.

[2] 蒋明玉.芝诺悖论[J].中学生数理化(七年级数学)(配合人教社教材),2015(12):34.

[3] [法]罗素.西方哲学史[M].北京:商务印书馆，1976.

[4] 包括下文的思维模型，均借鉴了[英]R.M.塞恩斯伯里.悖论.北京:中国人民大学出版社，2020

[5] 高鹏.从量子到宇宙[M].北京:清华大学出版社

    几千年过去了，芝诺悖论仍然没有获得一个能在逻辑学角度说服所有人的解；但在物理学上，芝诺的乌龟已经宣布寿终正寝。以上的讨论也仅仅是讨论，不作为解题方案。下次就更新普朗克长度好了，讲讲量子物理是怎么打败芝诺的乌龟的。

   本文是我的逻辑学结课论文，查重率12.9%，引用请注明。