【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第二章光的传播（二）

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】 

§2-3光的折射和全反射

【01】光投射在两种媒质的界面上，一般是有一部分光反射回原媒质继续传播，还有另一部分光在两种媒质的分界面上，改变了原来传播的方向，进入另一种媒质里继续传播，形成折射现象。只有在满足一定条件下，光射在两种媒质的分界面上，才只发生光的反射而没有光的折射现象，关于这种情形，下面还要仔细讨论。

1、光的折射定律

【02】光在折射的时候，遵从什么规律呢？我们用图2·11所示的实验装置来研究它。利用前面研究光的反射定律的实验装置图2·4，并把平面镜换成一个半圆形的透明玻璃水缸，就可以来研究光在折射时所遵从的规律。在暗室里，先使光源 S 发出的光垂直投射在水面上，这时光线是正入射，入射角等于零，进入水中的光线是沿着原来的方向射进水中的。改变光源 S 的位置（把光源 S 绕着圆盘转动一个角度），使光线从空气斜射入水中，这时候进入水中的那部分光线改变了原来的方向（折射角不等于入射角），在水面处发生了偏折。继续改变光源 S 的位置（从而改变入射角 a），则折射光线的方向（从而折射角 r 的大小）也随着发生改变，实验的结果表明：无论入射角的大小怎样改变，入射角的正弦和折射角的正弦的比总是一个不变的数值，即  。

【03】如果把图2·11中的水缸，换成一个形状相同的玻璃砖，并且按上述的过程重复做这个实验，结果表明光线从空气斜射入玻璃中时，入射角的正弦，跟折射角正弦的比，也仍旧是一个常数，只是这个常数的数值，跟光线从空气斜射入水中时，所得出的常数不同就是了。人们经过长期的实验，总结出了光从一种媒质斜射入另一种媒质时的折射定律：

【04】(1)折射光线总是在入射光线和法线所决定的平面里，并且和入射光线分居在法线的两侧。

【05】(2)不管入射角怎样改变，入射角的正弦跟折射角的正弦的比，对于所给定的两种媒质来说，总是一个常数。（这个常数就叫做光线由第一种媒质射入第二种媒质时的折射率）

【06】我们也可以做一个很简单的实验来验证一下光的折射定律。

【07】在一块木板上画一个圆，再画出互相垂直的两个直径 MM' 和 NN'，把圆分为四个象限，过圆心 O 在第三象限内引任意半径 OA，并在它上面 A、B 两处分别插上一枚大头针，然后把木块浸入盛水的玻璃容器中，使水面恰好落在 MM' 线上（如图2·12所示）；这时在第一象限内用一只眼睛来观察浸没在水中的大头针，并且在第一象限内的 C 点处插上另一枚大头针，使眼晴看过去时 A、B、C 三处的大头针在同一条直线上；之后再取出木板，用铅笔把 OC 联接起来，我们将发现：OA 和 OC 实际上并不在同一条直线上。为什么当木板浸在水里的时候，从 C 点看过去，这几枚针好象是在同一条直线上呢？这是因为光线从 AB 两处的大头针上射到空气中来时，在水面处发生了折射，光线沿 AB 方向到达水面上的 O 点，折射以后就沿着 OC 的方向射入眼里，于是看上去好象它们是在同一条直线上。如图2·13所示，光从水射入空气， AO 是入射光线，OC 是折射光线，∠AON' 是入射角，∠CON 是折射角，于是我们可以量出入射角和折射角，并求出它们的正弦值的比来。重复以上实验，又可以求得 A'、B' 和 C' 三点，记下这时的入射角 a 和相应的折射角 r，用三角函数表查出 sina 和 sinr 的数值，也可以求出它们的比来。多次重复上述实验，可以证实 sina/sinr 总是一个常数。用这种方法也就测出了光线从水射到空气时的折射率。

2、折射率

【08】光线从第一种媒质斜射入第二种媒质发生折射时，入射角的正弦跟折射角的正弦的比值，对于所给定的媒质来说，是一个常数。用 n₂₁ 表示   ，常数 n₂₁ 称做光线从第一种媒质射入第二种媒质时的折射率。它的数值取决于两种媒质的光学性质，与入射角的大小无关。

【09】实验证明：光从第一种媒质射入第二种媒质时的折射率 n₂₁，与光在这两种媒质里的传播速度有关，折射率在数值上等于光在第一种媒质里的传播速度 v₁ 跟光在第二种媒质里的传播速度 v₂ 的比，即   。

【10】如果光线是从真空射到某种媒质里，它在真空里的传播速度用 c 来表示，在媒质里的传播速度用 v 来表示，根据上面的关系可以得出：  。我们把光线从真空射入媒质里的折射率 n，叫做这种媒质的绝对折射率，简称为这种媒质的折射率。

【11】实验表明：光线在任何媒质里的传播速度 v 都比在真空里的传播速度 c 小，所以任何媒质的绝对折射率（）都大于 1  。光在空气里的传播速度比在真空里的传播速度 c 略小一些（相差得很少），所以可以看成是近似相等的，即空气的折射率近似等于 1；所以我们常常把光线从空气射入某种媒质的折射率，当做这一媒质的折射率。

【12】下面是几种媒质的折射率。

【13】光线从一种媒质射入第二种媒质时的折射率，又称做第二种媒质对于第一种媒质的相对折射率。从媒质的绝对折射率 n₁ 和 n₂ 也可以得出相对折射率 n₂₁  。

∵ ，则有 ，又因为 ，

∴ ，即   。

【14】根据公式 n＝c/v 可以知道，媒质的折射率越大，光在这种媒质中的传播速度就越小。两种媒质比较起来，我们把折射率比较小（光在里面传播速度比较大）的媒质，叫做光疏媒质；折射率比较大（光在里面传播速度比较小）的媒质，叫做光密媒质，从关系式   。可以看出，光线从光疏媒质 n₁ 射入光密媒质 n₂ 时（n₁ < n₂，v₁ > v₂），折射角比入射角小（sina > sinr，a > r）；如果光线是从光密媒质射入光疏媒质（n₁ ＞ n₂，v₁ ＜ v₂），则折射角将比入射角大（sina ＜ sinr，a ＜ r）。

【15】前面已经说过，光从一种媒质射入另一种媒质发生折射时的折射率，跟光在这两种媒质里的速度有关。我们可以这样来理解：设想有一束平行光，从一种媒质斜射入另一种媒质，光在第一种媒质里传播速度比较大，在第二种媒质里传播速度比较小（v₁ > v₂，n₁ < n₂）；第一种媒质是光疏媒质，第二种媒质是光密媒质；当平行光射到 AA' 位置时（如图2·14所示），A 处的光线首先进入到光密媒质里，速度开始减慢，而 A' 处的光线还继续在原光疏媒质（第一种媒质）里以较大的速度 v₁ 传播，由于速度的不同，当 A' 处的光线射到 B 时，A 处的光线在第二种媒质里传播到 B 处，A'B' 将大于 AB，这以后平行光束又以同样的速度 v₂ 在第二种媒质里继续传播，这样便在两种媒质的界面上发生了折射现象，折射角比入射角小。如果光线从光密媒质斜射入光疏媒质，那么情况恰好相反，折射角将大于入射角。如果光线是正入射（入射角等于零，入射光线与界面垂直），AA' 处的光线将同时进入第二种媒质，然后又同样以较小的速度在第二种媒质里传播，这时光线在界面处将不发生任何偏折现象。当然光线进入媒质时，受到媒质的影响和作用的情况是很复杂的，在这里还不能作具体的讨论。

【16】应当注意：光疏媒质和光密媒质是相对的，它们只有在互相比较的时候才有意义，不能孤立的问这种媒质是光疏媒质还是光密媒质，这也不是由物质的密度大小来决定的，另外还应当注意，n₂₁ 和 n₁₂ 的脚码也不能随意对调，即 n₂₁ ≠ n₁₂，根据 ，可以得出  。

3、折射时光路的可逆性

【17】前面说过，光在反射时的光路是可逆的，那么光在折射时光路也是不是可逆的呢？当光从第一种媒质斜射入第二种媒质时，根据折射定律： ，如果这时让光线从第二种媒质沿着原来折射光的方向，回过来射到第一种媒质中去，即取第一次折射时的折射角 r 作为入射角 a'，根据折射定律有： ，∵ ∠a'＝∠r，，∴  ，所以有 sin r'＝sin a，即∠r'＝∠a，这说明折射光线又恰好与第一次折射时的入射光线相重合，即表明光在折射时，光路也是可逆的。

例2.在空碗里放着一个分币，当碗里盛满水时，为什么看上去碗底处的分币会显得比原来高起一些？

【解】

        这是光线由水射入空气时发生折射的缘故。如图2·15所示，从碗底分币上任意一点 A 射出的光线，经过水面射入空气的时候，发生了折射，这一光线射入眼里的时候，好象是从 A' 发出来的一样，这样分币上的 A 点看起来似乎是在 A' 处，其他各点同样由于光的折射的缘故，看上去也相应地升高了，所以从碗外向水中倾斜地看过去，好象分币在盛水的碗中比原来的位置高起了一些。

例3.光线从空气斜射到水里，已知水的折射率是1.33，要使得反射光线跟折射光线互相垂直，问入射角应该多大？

【解】

        根据题意，光线从空气斜射到水中时同时发生了反射和折射；从反射定律和折射定律可知，反射光线和折射光线是跟入射光线分居在法线的两侧的，所以反射光线和折射光线必然在法线的同一侧，有可能成 90° 的夹角。设反射光线这时与水面的夹角为 ∠1，折射光线与水面的夹角为 ∠2（见图2·16），根据题意 ∠1＋∠2＝90°，∠b＋∠1＋∠2＋∠r＝180°，∴. ∠b＋∠r＝90°，即 ∠r＝90°－∠b  。

        根据反射定律 ∠b＝∠a，故 ∠r＝90°－∠a  。

        根据折射定律 ，即 ，，∴ a＝53°6'  。

        就是说光线从空气射入水中时，要使得反射光线跟折射光线互相垂直，入射角应当是 53°6'  。

例4.已知光线从空气射入甲媒质时，如果入射角是 45°，则折射角是 30°；而从空气射入乙媒质时，如果入射角是 45°，则折射角是 18°  。试问当光线从甲媒质射入乙媒质时，如果入射角是 45°，折射角是比入射角大呢还是比入射角小？为什么？是多少度？

【解】

        这个问题的要求是从入射角和折射角的大小来计算媒质的折射率，再根据媒质的折射率来判断哪一种媒质是光疏媒质，哪一种媒质是光密媒质，最后在给定入射角大小的条件下，计算出光从甲媒质射入乙媒质时折射角的大小。

        根据题意作图2·17(a)和(b)，从图(a)中所给出的条件，可以计算出甲媒质的折射率：；从图(b)中所给出的条件，可以计算出乙媒质的折射率：  。

        比较甲乙两种媒质的折射率，可以知道，甲媒质的折射率比较小，是光疏煤质，乙媒质的折射率比较大，是光密媒质。所以光从甲媒质射入乙媒质时，折射角比入射角小，即小于 45°  。于是可作图2·17(c)。

        又根据计算式：，，sin r＝0.707×0.627＝0.443，得r＝26°18'，这说明，光从甲媒质射入乙媒质时，入射角是 45°，折射角是 26°18'  。显然，与前面分析的结果一致：折射角比入射角小。

例5.已知玻璃的折射率是 1.52，水的折射率是 1.33，问(1)光从水射入玻璃和从玻璃射入水中时的折射率各是多大？(2)光在玻璃里和在水里的传播速度又各是多大？（已知光在真空中的速度 c＝3×10⁸米/秒）

【解】已知：n玻璃＝1.52，n水＝1.33，c＝3×10⁸米/秒

(1)

        光从玻璃射入水中时的折射率是，

        光从水射入玻璃中时的折射率是  。

(2)

        根据公式 ，则有米/秒，米/秒。v水 和 v玻璃 就是光在水里和在玻璃里的传播速度。

 4、全反射

【18】前面说过，光从一种媒质射入另一种媒质的时候，一般是同时发生反射现象和折射现象的，如果是从光疏媒质射入光密媒质，则折射角小于入射角；如果是从光密媒质射入光疏媒质，折射角将大于入射角。这样，当光从光密媒质射入光疏媒质时，就有可能在入射角还没有增大到 90° 以前，折射角就已经达到 90°  。图2·18就表示这种情况，光源 S 置放在水面下，光线从水里射到空气里，随着入射角的增大，折射光线逐渐远离法线，当入射角增大到某一数值 A 时，折射光恰好掠过界面，跟界面平行（折射角∠r＝90°），再继续增大入射角，光线就全部反射回到水中，不再有折射光线进入空气，形成全反射现象。我们把使折射角等于 90° 的入射角 A 叫做临界角，那么，发生全反射的条件就是：

【19】(1)光线从光密媒质射入光疏媒质；

【20】(2)入射角大于临界角。（入射角等于临界角时，折射角等于 90°，似乎还存在与媒质界面平行的折射光线，但实际上，这时折射光的强度等于零，所以入射光是全部反射回到原来的媒质里的）

【21】设有一束光线从光密媒质（它的折射率是 n₁）射到光疏媒质（它的折射率是 n₂）里去，根据折射定律：；当折射角 ∠r＝90° 时，入射角 a 即为临界角 A，，即   。

【22】如果光线是从媒质射入真空或空气时发生全反射，那么求临界角的公式应为：，即   。

【23】下面是几种媒质相对于真空或空气的临界角。

【24】我们可以做一个简单的实验来观察全反射现象。

【25】在一个烧瓶里装半瓶清水，在瓶塞当中穿一根直钢丝，使它的下端恰好落在烧瓶的球心 O 处并与水面相靠近（如图2·19所示），把瓶的一个侧面从瓶底到水面分为 9 等分，即对于 O 点每隔 10° 在瓶上贴一张有颜色的小纸条，并且在接近水面 A 处放一支点燃的小蜡烛，蜡烛发出的光，有一部分将平行于水面以接近 90° 的入射角射入水中，这时眼睛从瓶底 N 点逐渐向 B 点（∠NOB ≈ 50°）移动，等到移近 B 点时，就能看见从小蜡烛发出的光。已知光从水射入空气时的临界角是 48.5°，即当入射角（从水到空气）等于 48.5° 时，折射角等于 90°，现在情况恰好相反，根据折射时光路的可逆性，光从空气射入水中的入射角为 90° 时，折射角等于 48.5°，所以折射光会在 B 点附近射入眼中；当眼睛移到 B 点时，蜡烛的光亮却顿时就消失了，这时眼晴对着钢丝的下端 O 点时只能看到贴在处的有颜色纸条，这就是从纸条射出的光线，在水面处引起全反射的结果，因为从 C 点射出的光线经水面 O 处反射到眼里，入射角 ∠CON 已经大于临界角 48.5° 了（∠CON＝∠B0N ≈ 50°）。

【26】用这种方法也可以近似测定光从酒精或其他液体射到空气时的临界角。建议读者试试看。

例6.已知水的折射率是 1.33，水晶的折射率是 1.54，要发生全反射，光必须从哪一种媒质射入哪一种媒质？入射角必须大于多少度？如果光线从水晶射入空气时，临界角又是多大？

【解】

        已知 n水＝1.33，n水晶＝1.54，因为 n水 < n水晶，所以水是光疏媒质，水晶是光密媒质；根据全反射发生的条件：光线必须从光密媒质射入光疏媒质，入射角大于或等于临界角时才能发生全反射，所以光必须从水晶射入水中才可能发生全反射。

        根据公式 ，∴. A＝59°44'  。

        就是说光线从水晶射入水中的入射角大于或等于临界角 59°44' 时才能发生全反射。

        光从水晶射入空气中时，临界角的大小可以根据下面的公式计算出来，∴ .A＝40°30'  。

        在自然界里，我们看见的露水或喷泉的水珠，总是显得格外明亮耀眼，这就是光在水珠内发生全反射的缘故。大气光现象中，霓、虹的形成，也与全反射有关，技术上利用全反射的例子，我们留在后面再讨论。

习题2-3

1、水的折射率是 1.33，光线从空气射入水中，入射角是 30°，问折射角是多大？如果光线从正入射（∠a＝0°）连续改变到掠入射（∠a＝90°），问折射角相应有多大的改变？【22°6′，0°＜r＜48°46′】

2、已知玻璃的折射率为 1.52，光线要用多大的入射角从空气投射到玻璃表面上，才能使反射光跟折射光成 180° 和 120° 的夹角？【0°，36°35′】

3、光线从水射入玻璃时的折射率是多大？已知光在水中的传播速度是，求光线在玻璃中的传播速度是多大？【1.14，0.658c】

4、水和玻璃相比哪一个是光疏媒质？哪一个是光密媒质？为什么？要在水和玻璃的分界面上发生全反射现象，光线必须从哪一种媒质射入哪一种媒质？为什么？这时的入射角应大于多少度？【61°3′】

5、光从水射到某种玻璃时的折射率是 1.18，从水射到甘油的折射率是 1.11，问光线从这种玻璃射到甘油中的折射率是多大？【0.94】

6、在水面下 1 米深处，放置一个点光源，问它能照亮多大的水面？被照亮的这块面积形状是怎样的？水是透明体，为什么这个放在水中的点光源不能把全部水面都照亮呢？[提示：要从水面上看见某部分水面被照亮，必须有光线从这部分水面射入空气里，如果水面下的光射到某部分水面时发生全反射，而没有光线射到空气里去，那么眼睛就不会感觉到这部分水面是被照亮的]【4.01米²】