A-0-5数列递推

2023-08-27 15:26 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.5.1 基本数列

数列的一般形式

$a_1%2Ca_2%2Ca_3%2C%5Ccdots%2Ca_n%2C%5Ccdots$

可以记为 $%5C%7Ba_n%5C%7D$ ， $a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，如果 $a_n$ 是关于 $n$ 的函数，则 $a_n%3Df(n)$ 称为数列的通项公式。

所有数列中，最基础的是等差和等比数列：

等差数列通项公式
$a_n%3Da_1%2B(n-1)d$
等比数列通项公式

$a_n%3Da_1q%5E%7Bn-1%7D$
（ $a_1$ 为首项， $d$ 为公差， $q$ 为公比。）

等差数列前 $n$ 项和
$S_n%3Dna_1%2B%5Cdfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7Dd$
等比数列前 $n$ 项和
$S_n%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%20na_1%26q%3D1%5C%5C%20a_1%5Cdfrac%7B1-q%7D%7B1-q%5En%7D%20%26q%5Cne1%20%5Cend%7Bcases%7D$

0.5.2 递推公式求通项

如果数列 $%20%20%7Ba_n%7D$ 的第 $%20n%20$ 项与它前一项或几项的关系可以用一个函数关系来表示

$a_%7Bn%2B1%7D%20%3Df(a_n%2Ca_%7Bn-1%7D%2C%5Ccdots)$

那么这个关系式叫做这个数列的递推公式。例如，等差数列的递推公式为

$%20a_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20a_%7Bn%7D%20%2B%20d$

等比数列的递推公式为

$%20%20a_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20a_n%20q$

物理竞赛中常见的是两项或三项之间的递推关系式。

0.5.3 一阶线性递推数列

$a_%7Bn%2B1%7D%3Dpa_n%2Bq%2C(p%5Cne0)$

函数的不动点指的是满足 $f(x)%3Dx$ 的 $x$ 值，数列的通项公式也是一个函数，那么数列的不动点就是 $a_n%3Dpa_n%2Bq$ ，我们把这样的方程 $%5Clambda%3Dp%5Clambda%2Bq$ 称为该数列的特征方程，特征方程的解称为特征根。

当 $p%3D1%2Cq%5Cne0$ 时，特征方程无解，数列为等差数列。

当 $p%3D1%2Cq%3D0$ 时，特征方程有无数解，数列为常数列。

当 $p%5Cne1$ 时，特征方程有唯一解 $%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D$ ，此为数列的不动点。

代回原式，我们可以得到

$a_%7Bn-1%7D-%5Clambda%3Dp(a_n-%5Clambda)$

即，构造一个新数列 $%5C%7Ba_n-%5Clambda%5C%7D$ ，这是一个等比数列，公比为 $p$ .求出通项后，代回原式即可。

这种数列在物理竞赛中最为常见，处理起来也比较简单。

0.5.4 分式递推数列

$a_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7Bs%20a_n%20%2B%20t%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D$

依旧用不动点的思想列出对应的特征方程 $%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bs%5Clambda%2Bt%7D%7Bp%5Clambda%2Bq%7D$ ，移项得

$p%5Clambda%5E2%2B(q-s)%5Clambda-t%3D0$

方程有两个重根 $%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D%5Clambda$

则 $%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba_n-%5Clambda%7D%5C%7D$ 为等差数列，公差 $d%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bs-p%5Clambda%20%7D$ ；

方程有两不等实数根 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ .

则 $%5C%7B%5Cdfrac%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_1%7D%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_2%7D%5C%7D$ 为等比数列，公比 $q%3D%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D$

证明：递推式两侧分别同时减去两特征根得

$a_%7Bn%2B1%7D%20-%5Clambda_1%3D%20%5Cdfrac%7Bs%20a_n%20%2B%20t%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D-%5Clambda_1$

$%3D%5Cdfrac%7B(s-p%5Clambda_1%20)(a_n%20-%5Cdfrac%7Bt-q%5Clambda_1%7D%7Bp%5Clambda_1-s%7D)%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D%3D%5Cdfrac%7B(s-p%5Clambda_1%20)(a_n%20-%5Clambda_1)%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D$

同理可得

$a_%7Bn%2B1%7D%20-%5Clambda_2%3D%5Cdfrac%7B(s-p%5Clambda_2%20)(a_n%20-%5Clambda_2)%7D%7Bp%20a_n%20%2B%20q%7D$

两式相除，得

$%5Cdfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D-%5Clambda_1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-%5Clambda_2%7D%3D(%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D)%5Cdfrac%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_1%7D%7Ba_%7Bn%7D-%5Clambda_2%7D$

方程有一对共轭复数根 $%5Clambda_%7B1%2C2%7D%3D%5Calpha%5Cpm%20i%5Cbeta$ .

依旧可以用2的结论，虽然表达式中带有虚数，但最后结果依然为实数。其中 $%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D$ 可以利用欧拉公式化简。此复数可以换元为

$A(%5Ccos%5Ctheta%2Bi%5Csin%5Ctheta)%3DAe%5E%7Bi%5Ctheta%7D$

$(%5Cdfrac%7Bs-p%5Clambda_1%7D%7Bs-p%5Clambda_2%7D)%5En%3D(Ae%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%5En%3DA%5Ene%5E%7Bin%5Ctheta%7D%3DA%5En(%5Ccos%20n%5Ctheta%2Bi%5Csin%20n%5Ctheta)$

在静电场像电荷的部分，有如下递推公式 $x_n%3D%5Cdfrac%7BR%5E2%7D%7B2R-x_%7Bn-1%7D%7D$ ，已知 $x_1%3D%5Cdfrac%7BR%7D%7B2%7D$ ，求 $x_n$ .

数列对应特征方程 $%5Clambda%3D%5Cdfrac%7BR%5E2%7D%7B2R-%5Clambda%7D$ ，化简为 $(%5Clambda-R)%5E2%3D0$ ，方程有重根 $%5Clambda%3DR$ .

则 $%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx_n-R%7D%5C%7D$ 为等差数列，公差为 $-%5Cdfrac%7B1%7D%7BR%7D$ ，故

$%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx_n-R%7D%3D-(n-1)%5Cdfrac%7B1%7D%7BR%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7BR%7D$

解得 $x_n%3D%5Cdfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7DR$ .

0.5.5 二阶常系数齐次递推数列

$a_%7Bn%2B2%7D%3Dpa_%7Bn%2B1%7D%2Bqa_%7Bn%7D%2C(q%5Cne0)$

此时递推数列的特征方程为 $%5Clambda%5E2%3Dp%5Clambda%2Bq$ ，

方程有两重根 $%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D%5Clambda$ ，则数列通项形式为 $a_n%3D(C_1%2BC_2n)%5Clambda%5En$ ，其中 $C_1%2CC_2$ 由初始条件确定。
方程有两不等实根 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ ，则数列通项 $a_n%3DC_1%5Clambda_1%5En%2BC_2%5Clambda_2%5En$ .其中 $C_1%2CC_2$ 为待定系数。
方程有两不等复数根，数列通项形式同2，虽然形式带有虚数，最后结果依然为实数。

0.5.6 一阶线性递推方程组

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%7Bn%2B1%7D%3Dpa_n%2Bqb_n%5C%5C%20b_%7Bn%2B1%7D%3Dsa_n%2Btb_n%20%5Cend%7Bcases%7D$

直接换元，化为单个数列递推关系。

由第1个式子得

$b_n%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B1%7D-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7Da_n$

代入到第2个式子得：

$%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B2%7D-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B1%7D%3Dsa_n%2Bt(%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7Da_%7Bn%2B1%7D-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7Da_n)$

即

$a_%7Bn%2B2%7D%3D(p%2Bt)a_%7Bn%2B1%7D%2B(sq-tp)a_n$

此为二阶常系数齐次递推数列。

在两体碰撞中，有如下递推式
$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%7Bn%2B1%7D%3Da_n-2%5Cdfrac%7Ba_n%2Bkb_n%7D%7B1%2Bk%7D%5C%5C%20b_%7Bn%2B1%7D%3D2%5Cdfrac%7Ba_n%2Bkb_n%7D%7B1%2Bk%7D-b_n%20%5Cend%7Bcases%7D$
已知 $a_1%3D1%2Cb_1%3D-1$ ，求其通项公式。

原方程化简得

$a_%7Bn%2B2%7D-2%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7Da_%7Bn%2B1%7D%2Ba_n%3D0$

对应特征方程

$x%5E2-2%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7Dx%2B1%3D0$

对应两根

$x_%7B1%2C2%7D%3D%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%5Cpm%20i%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7Bk%7D%7D%7Bk%2B1%7D$

故

$a_n%3DC_1(%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D%2B%20i%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7Bk%7D%7D%7Bk%2B1%7D)%5En%2BC_2(%5Cdfrac%7Bk-1%7D%7Bk%2B1%7D-%20i%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%7Bk%7D%7D%7Bk%2B1%7D)%5En$