趣味數學問題懸賞5 初一、二組參考答案

2023-02-13 16:44 作者:数学只因 0人读过 | 我要投稿

不知道啥是趣味數學問題懸賞看這裏

第一題解答：

設第一段的路程為 $x$ 公里

不難得出第二段的路程為 $(49-15-x)$ 公里

按題意可列方程：

$%5Cfrac%7Bx%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B(49-15-x)%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B15%7D%7B5%7D%3D10$

$%5Ctherefore%20x%3D18$

第二題解答：

解法一：

比起直接求与 2005 互质的数的个数，我们不如从和与 2005 不互质的数入手

不难有与 2005 互质的数的个数 = 2005 - 与 2005 不互质的数的个数

注意到 $2005%3D5%5Ccdot%20401$

与 2005 不互质的数可以分成三类：

可以被 5 整除但不能被 401 整除的 ( a 类 )

可以被 401 整除但不能被 5 整除的 ( b 类 )

可以被 5 整除也可以被 401 整除的 ( c 类 )

不难有与 2005 不互质的数的个数 = a 类数个数 + b 类数个数 - c 类数个数 ( 容斥原理 )

不难得出以下结论：

a 类数个数 = 2005 / 5 = 401

b 类数个数 = 2005 / 401 = 5

c 类数个数 = 2005 / ( 5 * 401 ) = 1

得与 2005 不互质的数的个数 = 401+5-1 = 405

得与 2005 互质的数的个数 = 2005 - 405 = 1600

解法二：

原题等价于求 $%5Cvarphi(2005)$ 的值 ( 欧拉函数 )

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cvarphi(2005)%26%3D%5Cvarphi(5)%5Ccdot%5Cvarphi(401)%5C%5C%0A%26%3D4%5Ccdot400%5C%5C%0A%26%3D1600%0A%5Cend%7Balign%7D$

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