基于内模控制的PID参数整定

2023-07-14 03:59 作者:学海行舟 0人读过 | 我要投稿

在上一篇PID系列的博文中，我们介绍了内模控制的基本原理，在本文中，我们将基于上一篇文章中内模控制的基本原理对PID参数进行整定。

基于内模控制的PID参数整定可以概括为以下四步：

步骤一：首先我们需要基于内模控制的基本原理，求得内模控制器 $G_%7BIMC%7D(s)$ ，它包含了内在模型的逆 $%5Chat%7BG%7D%5E%7B-1%7D(s)$ 以及滤波器 $F(s)$ 。然而值得一提的是，与常规内模控制的设计不同之处在于基于IMC的PID控制器设计中可以允许 $G_%7BIMC%7D(s)$ 的分子阶数大于分母的阶数。

步骤二：求得内模控制的等效反馈控制器，其形式如下：

$C(s)%3D%5Cfrac%7BG_%7BIMC%7D(s)%7D%7B1-G_%7BIMC%7D(s)%5Chat%7BG%7D(s)%7D$

通过比较可以发现，此时控制框图可以等效为PID控制器的闭环控制形式。

步骤三：通过比较内模控制的等效反馈控制器与PID控制器的标准形式，则可求得PID的控制参数。对于一阶系统，采用PI控制形式就可，对于二阶系统，采用PID控制形式即可。标准的PI和PID控制形式可以表示如下：

$G_%7BPI%7D(s)%3D%5Cfrac%7BK_c(T_is%2B1)%7D%7BT_is%7D$

$G_%7BPID%7D(s)%3D%5Cfrac%7BK_c(T_iT_ds%5E2%2BT_is%2B1)%7D%7BT_is%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BT_fs%2B1%7D$

其中， $T_f$ 为滤波器参数为可选项。

假设被控对象为一阶系统，系统的内在模型为

$G_%7BP*%7D(s)%3D%5Cfrac%7BK_p%7D%7B%5Ctau_p%20s%2B1%7D$

则设计的内模控制器 $G_%7BIMC%7D(s)$ 为

$G_%7BIMC%7D(s)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BK_p%7D%5Cfrac%7B%5Ctau_p%20s%2B1%7D%7B%5Clambda%20s%2B1%7D$

相应地我们可以求得内模控制的等效反馈控制器为

$C(s)%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_p%20s%2B1%7D%7BK_p%5Clambda%20s%7D$

通过与PI控制器比较，我们可以得到PI的参数如下

$K_c%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_p%7D%7BK_p%5Clambda%7D%2CT_i%3D%5Ctau_p$

同理对于给定的二阶被控对象，假设系统的内在模型为

$G_%7BP*%7D(s)%3D%5Cfrac%7BK_p%7D%7B(%5Ctau_1%20s%2B1)(%5Ctau_2%20s%2B1)%7D$

通过前面类似的分析，我们与PID控制器进行比较，最终我们可以得到PID的参数如下

$K_c%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_1%2B%5Ctau_2%7D%7BK_p%5Clambda%7D%2CT_i%3D%5Ctau_1%2B%5Ctau_2%2CT_d%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_1%20%5Ctau_2%7D%7B%5Ctau_1%2B%5Ctau_2%7D$

通过上述分析可以发现，通过内模控制的设计，当内在模型确定时，PID的参数只与滤波器的参数 $%5Clambda$ 相关，因此，原本三个自由度的控制参数设计，变成为一个自由度的控制参数设计，这极大的降低了PID控制参数设计的难度。

步骤三：通过调节参数 $%5Clambda$ 去平衡PID控制的动态性能和稳态误差。

为了验证上述理论，我们在Matlab/Simulink环境下搭建相应模型进行验证。我们首先考虑以下一阶系统

$G(s)%3D%5Cfrac%7B0.8%7D%7B8s%2B1%7D$

我们选择内模模型为

$%5Chat%7BG%7D(s)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B10s%2B1%7D$

则PI的参数可以计算得到为

$K_c%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B0.8%5Clambda%7D%2CT_i%3D8$

在Matlab/Simulink环境下，我们通过调节参数 $%5Clambda$ 可以得到如下响应结果，其中Y1，Y2和T3的 $%5Clambda$ 值分别为0.01，0.1和0.5。可以发现随着 $%5Clambda$ 值的减小，系统的响应速度变快，但又不会出现超调大的情况，总体控制效果时比较好的。

接下来我们首先考虑以下二阶系统

$G(s)%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B50s%5E2%2B15s%2B1%7D$

我们选择内模模型为

$%5Chat%7BG%7D(s)%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B32s%5E2%2B12s%2B1%7D$

则PI的参数可以计算得到为

$K_c%3D%5Cfrac%7B12%7D%7B2%5Clambda%7D%2CT_i%3D12%2CT_d%3D32%2F12$

在Matlab/Simulink环境下，我们通过调节参数 $%5Clambda$ 可以得到如下响应结果，其中Y1，Y2和T3的 $%5Clambda$ 值分别为6，3和1。可以发现随着 $%5Clambda$ 值的减小，系统的响应速度变快，但是相应的超调量也增加了，因此我们需要综合动态响应速度和超调量选择 $%5Clambda$ 。