“采”到多深好？浅析奈奎斯特采样定理

在“采样”系列第一篇文章中，我介绍了计算机如何把模拟的声音信号转化为离散的数字的信号。在这个过程中，即使我们假设设备工作理想，也会出现一些限制和偏差。比如：将连续的模拟信号在很短的时间内采样为数字信号，以及把信号的幅度分割为非常小的单位进行量化。我也给出了一系列的音频供大家进行比对。现在我就要解答剩下的问题——采样到什么精度才能获得良好的声音？

1. 采样频率和信号频率的关系

 
如果您没有听过上一篇文章的音频，可以先回顾第一篇听听看，接下来的部分与此有关。 通过对比试听，我们可以很明显感觉到，随着采样率从8000Hz增加到44100Hz，我们越来越可以完整地听到整首歌曲的所有声音了，最明显的莫过于集中在高频段的镲片声，这个声音我们是几乎无法在8000Hz采样率下听到的。 

通过频谱图我们可以看到，8000Hz采样率下，我们完全无法获得高于4000Hz的音频信号：

而在44100Hz采样率下，音频的频率范围可以扩展到22050Hz。

相比之下，更高的采样率可以获得更多的高频率信息！ 

8000Hz采样率下的声音，听起来就像是打电话听到的彩铃一样。事实上也是这样的，因为电话的音频编码使用的采样率就是8000Hz。 

44100Hz则是CD的规范的采样频率，能达到这个采样频率是音频可以称为“无损”的基本条件之一。 

看到这里，细心的你一定发现了一个关系——8000Hz采样率下最高可以听到4000Hz的频率，44100Hz采样率下最高可以听到22050Hz的频率。这似乎意味着，如果要记录频率为F的信号，采样频率就必须达到F的2倍，即F_sampling = 2*F_signal。 

恭喜你发现了信息行业中最重要的理论之一。可惜的是，发现这个规律的我们，已经没办法用这个发现来叱咤通信领域了。因为这个定理早在1928年就已经被美国的电信工程师H.Nyquist提出——这就是奈奎斯特采样定理。

2. 2倍采样，就够了吗？

 
采样定理是可以用数学的方法严格证明的。但是这明显会影响了我文章的可读性，因此我用不太严谨的说法解释一下，为什么要有2倍以上的采样频率。 

如图所示一个正弦波，我们要记录它的大小和位置，最少应该采样几次呢？

正弦波是周期的信号。图片中的正弦波y = sin(2πt)周期是1。我们只需要知道一个周期内，波形有多高、左右偏移了多少，就可以管中窥豹了。那么，一个周期内需要采样多少个点才能确定一个波形呢？假设我们在正弦波的波峰和波谷各采样一个点：

看起来，好像这样就可以定位出一个波形的特征了，看起来奈奎斯特诚不我欺！

但是如果看看这个例子： 

可以看出，如果采样的时候，采样率刚好达到声音频率的2倍，是不能确保还原对应频率的波形的。接下来，我使用Audition的波形生成器来验证一下采样定理。 

对于44100采样率的信号，我生成一个22050Hz的正弦波波形，同时初相位保持为0°，如图所示：

得到的结果却是： 

如果初相位调整为一个不是0°的值，比如40°，则可以看到对应的波形： 

但是在这个临界频率下，不是所有情况都可以被还原的。不过，当我们把生成的正弦波频率设置为22049Hz看看：

22049Hz的正弦波可以在AU中正常生成，只是减少了1Hz的目标频率，相当于采样率44100Hz＞2×22049Hz，就可以完美采样到唯一的波形。 

事实上，数学上已经严格证明了，采样率只要比2倍更大，不论大多少，哪怕是2.0000000001倍，都可以还原出这个频率的原始波形。 所以…… 

3. 我们要用到什么样的采样率呢？

 
最简单的想法就是：人的耳朵能听到的范围内都采集下来，就好了！ 

是的，基于这个思路，再结合一下我们初中物理课就讲过的“人的听觉范围大约在20~20000Hz之间”，因此，只要采样率能够超过20000Hz的两倍，就可以完整地记录到覆盖到人耳的听力范围的频率了。换句话说，对于人类来说，听一个声音，使用这样的采样率就已经足够了。 

当然，狗狗们可能就是例外。狗可以听到50kHz的声音（数据来源于Wikipedia），这意味着狗界的无损音频要达到100kHz以上的采样率。我们的无损CD在狗狗们的耳朵里，应该还是略显沉闷的。

至于众所周知的CD的采样率标准44100Hz，这其实是一个历史遗留问题。这个数字是因为标准设计的时候的随意性导致的，但也不妨碍它能够满足采样定理的要求。另外，现在同样流行的48000Hz、96000Hz甚至192kHz、384kHz等采样率，根据采样定理，它们的覆盖频率早已远远超过人耳听觉的范围，那它们存在的意义是什么呢？

埋个伏笔，这个可以另开一篇文章讲讲。 

总而言之，当你的音乐可以达到40000Hz以上的采样率，就不会产生人耳范围内的频率丢失。按照现今的大环境，你使用44100Hz和48000Hz都是可以的。

本文作者：艾夫

音乐制作人、编曲人、混音师、艾楽音乐工作室主理人、华中科技大学光电信息专业硕士。