Strongart教授：论充要条件的基本悖论

   对于某个复杂概念X（比如知识论中X=知识，如图来自：BV1fE411s7BH），如何求得它的等价条件呢？我们先考虑X的必要条件，再考虑X的充分条件，然后把这两个条件合起来，似乎就可以得到X的充要条件。遗憾的是，这样的逻辑结构是不成立的，Strongart教授称其为充要条件的基本悖论。

   基本记号：→表示蕴含关系；~表示等价，即双向蕴含关系；≤表示包含于关系，它是→的特例。

   称A是X的充分条件，若A→X；称B是X的必要条件，若X→B。此时，未必就有A∩B~X。只要我们取蕴含的特例——包含于关系，这一点就是很明显的：若A≤B≤C，除非特殊情况A=B，否则A∩C=A≠B.；除非特殊情况B=C，否则A∪C=C≠B. 

   我们取A是整数集Z，B是有理数集Q，C是实数集R，就可以得到一个简单的例子：“a是整数”是“a是有理数”的充分条件，“a是实数”是“a是有理数”的必要条件，接下来不管取交集还是并集，它们都无法构成“a是有理数”的充要条件。

   为什么会出现这样的情况呢？充分条件加必要条件难道不是充要条件吗？如果A是B的充分条件，同时A还是B的必要条件，那么自然就有A是B的充要条件。但这里处理复杂概念X的时候，出现了A、X、B三个概念，有A→X和X→B两组命题，这就导致了结论的不成立。

   要找复杂概型X的等价条件，可以从充分条件出发，逐渐收缩为必要条件，也可以从必要条件出发，逐渐合并出充分条件，但不适合把这两种方法糅合在一起。

   这里隐藏的数学模型是：可测集可以用开集族从外部逼近，也可以用紧集族从内部逼近，但若是做交或者做并，那么开集族与紧集族中就要浪费一个。