基于LQR理论的PID参数整定
经典的PID参数整定的方法主要是基于频域法和主导零极点的时域设计方法。从上述方法也能看出PID控制器设计的理论是基于二阶线性定常系统,因此可以按照二次最优控制的方法对PID的参数进行设计。
首先,我们考虑二阶线性定常系统,假设被控对象如下:
将上式转换成如下状态方程
其中,
,
,V为常值干扰。
为了进行PID参数的设计,我们对上式再微分求得其增广状态方程如下:
其中,
根据LQR的控制理论,我们可以定义如下性能指标:
其中,Q和R为相应的权值矩阵。
由最优控制理论可求得最优控制率为
其中,
则
对上式积分,且当时有
整理上式可得
当给定值,则误差可以定义为
,则上式可以写成 如下PID标准式:
其中,
为了验证上述PID参数设计,我们再Simulink环境下搭建相关仿真对其进行验证。被控二阶对象的传递函数如下所示
其中,Q和R分别设计为
在Simulink环境下搭建的模型如下:

仿真结果如下:

从仿真结果可以发现,基于LQR设计的PID有很好的跟踪控制性能,且无超调。