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基于LQR理论的PID参数整定

2023-05-16 22:50 作者:学海行舟  | 我要投稿

        经典的PID参数整定的方法主要是基于频域法和主导零极点的时域设计方法。从上述方法也能看出PID控制器设计的理论是基于二阶线性定常系统,因此可以按照二次最优控制的方法对PID的参数进行设计。

         首先,我们考虑二阶线性定常系统,假设被控对象如下:

                                             %5Cddot%7By%7D%2Ba_1%5Cdot%7By%7D%2Ba_0y%3Db_1%5Cdot%7Bu%7D%2Bb_0u%2Bv

          将上式转换成如下状态方程

                                                    %5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Blr%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7Bx%7D%3DAx%2BBu%2BV%2C%20%26%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3DCx.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D

          其中,

                               %5Cbegin%7Bequation%7D%0AA%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0A0%20%26%201%20%5C%5C%0A-a_0%20%26%20-a_1%0A%5Cend%7Barray%7D%20%0A%5Cright%20%5D%7D%2C%0AB%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Cbeta_1%5C%5C%0A%5Cbeta_2%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D%2C%0AC%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A1%260%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D

                      %5Cbeta_1%3Db_1%2C%5Cbeta_2%3Db_0-a_1b_1%2Cx%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0Ax_1%26x_2%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%5ET%7D%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0Ay%26%5Cdot%7By%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%5ET%7D,V为常值干扰。

           为了进行PID参数的设计,我们对上式再微分求得其增广状态方程如下:

                                                       %5Cdot%7BZ%7D%3D%5Cbar%7BA%7DZ%2B%5Cbar%7BB%7D%5Cbar%7BW%7D

            其中,                                                  %5Cbegin%7Bequation%7D%5C%0A%5Cbar%7BA%7D%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A0%20%26%20C%20%5C%5C%0A0%20%26%20A%0A%5Cend%7Barray%7D%20%0A%5Cright%20%5D%7D%2C%0A%5Cbar%7BB%7D%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A0%5C%5C%0AB%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D%2C%0Az%3D%5Cdot%7Bx%7D%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0Az_1%26z_2%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D%2C%0AZ%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0Ay%26z%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D%2C%0A%5Cbar%7BW%7D%3D%5Cdot%7Bu%7D%EF%BC%8C%0A%5Cend%7Bequation%7D

            根据LQR的控制理论,我们可以定义如下性能指标:

                                               J%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(Z%5ETQZ%2BW%5ETRW)dt

            其中,Q和R为相应的权值矩阵。

            由最优控制理论可求得最优控制率为

                                                                       W%3D-LZ

            其中,

                                                                  L%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0Al_1%26l_2%26l_3%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D

            则%5Cdot%7Bu%7D%3D-l_1y-l_2x_1-l_3x_2

            对上式积分,且当u(0)%3D0时有

                                                            u%3D-l_2y-l_1%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7D%20y-l_3(%5Cdot%7By%7D-%5Cbeta_1u)

            整理上式可得

                                                           u%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B1-l_3%5Cbeta_1%7D%5Bl_2y%2Bl_1%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7D%20y%2Bl_3%5Cdot%7By%7D%5D

             当给定值y_r%3D0,则误差可以定义为e(t)%3Dy_r-y(t)%3D-y(t),则上式可以写成 如下PID标准式:

                                             u(t)%3DK_Pe(t)%2BK_I%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7De(t)dt%2BK_D%5Cfrac%7Bde(t)%7D%7Bdt%7D

其中,

                                       K_P%3D%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B1-l_3%5Cbeta_1%7D%2CK_I%3D%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B1-l_3%5Cbeta_1%7D%2CK_D%3D%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B1-l_3%5Cbeta_1%7D

               为了验证上述PID参数设计,我们再Simulink环境下搭建相关仿真对其进行验证。被控二阶对象的传递函数如下所示

                                                      G(s)%3D%5Cfrac%7B100%7D%7Bs%5E2%2B25s%2B200%7D

其中,Q和R分别设计为

                                                    Q%3D%7B%0A%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0A50%260%260%5C%5C%0A0%260.1%260%5C%5C%0A0%260%260.1%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%20%5D%7D%2CR%3D1

                 在Simulink环境下搭建的模型如下:

Simulink 仿真

                    仿真结果如下:

跟踪结果

                       从仿真结果可以发现,基于LQR设计的PID有很好的跟踪控制性能,且无超调。

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