【数学基础20】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

2. 收敛数列必有界；

3. 有限个无穷小的和还是无穷小；

4. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

5. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

9. 矩阵乘法运算律——

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

10. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

11. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

12. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

设{an}满足lim（a1+a2+……+an）/n=l，试证明：

a.若lim n（an-an-1）=0，则lim an=l；

b.若lim an=l，则I=[2（a2-a1）+……+n（an-an-1）]/n=0.

证：

a.

1. 令a0=0，令bn=an-an-1，则an=b1+b2+……+bn，令cn=nbn；

2. lim n（an-an-1）=lim cn=0

3. a1+a2+……+an

   =b1+（b1+b2）+……+（b1+b2+……+bn）

   =nb1+（n-1）b2+……+bn；

4. （n+1）an-（a1+a2+……+an）

   =（n+1）（b1+b2+……+bn）-[nb1+（n-1）b2+……+bn]

   =（b1+2b2+……+nbn）；

5. lim （b1+2b2+……+nbn）/（n+1）

   =lim（b1+2b2+……+nbn）/n lim n/（n+1）

   =lim（c1+c2+……+cn）/n lim n/（n+1）

   =0

6. lim an-lim（a1+a2+……+an）/（n+1）

   =lim（b1+2b2+……+nbn）/（n+1）=0，

   lim an

   =lim（a1+a2+……+an）/（n+1）

   =lim（a1+a2+……+an）/n lim n/（n+1）

   =l

b.

1. lim[2（a2-a1）+……+n（an-an-1）]/n

   =lim[-（a1+a2+……+an）+（n+1）an-a1]/n

   =-lim（a1+a2+……+an）/n+lim（n+1）an/n-lim  a1/n

   =-l+l-0=0.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

两个非零向量e1，e2不共线.设AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3（e1-e2），试证A，B，C，D共面。

证：A，B，C，D四点共面，即向量AB，AC，AD共面，即存在不全为0的实数对λ，μ，使得λAB+μAC=AD，即λ+2μ=3，λ+8μ=-3，解得λ=5，μ=-1，得证。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子胥 编）》）——

设A，B为n阶方阵，且A^2=A，B^2=B，（A-B）^2=A+B.证明：

AB=BA=0.

证：

1. （A-B）^2

   =（A-B）（A-B）

   =A^2-AB-BA+B^2

   =A-AB-BA+B

   =A+B，

   -AB-BA=0，AB=-BA；

2. AB

   =A^2B

   =A（AB）

   =A（-BA）

   =-（AB）A

   =-（-BA）A

   =BA^2

   =BA，

   -BA=BA=0；

3. 由1,2：AB=BA=0.

到这里！