【数学基础56】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；

3. 性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

4. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

5. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

6. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

7. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
   

8. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

9. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

10. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

11. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

12. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

13. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

14. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

15. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。

16. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

17. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

18. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

参考资料：

1. 《数学分析》（华东师范大学数学系 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——

求lim a^n/（a^n+1），其中a不为-1.

解：

a.若a=1，则lim a^n/（a^n+1）=1/2.

b.若|a|<1，则lim a^n=0，lim  a^n/（a^n+1）=lim  a^n/（lim a^n+1）=0；

c.若|a|>1，则lim  a^n/（a^n+1）=lim  1/（1+1/a^n）=1.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编著）》）——

证明a，b，c共面的充要条件是bxc，cxa，axb共面.

证：

必要性——

1. a，b，c共面，即（a，b，c）=0；

2. （bxc，cxa，axb）

   =（b，c，a）（c，a，b）-（b，c，c）（a，a，b）

   =0，即bxc，cxa，axb共面.

充分性——

1. bxc，cxa，axb共面，即（bxc，cxa，axb）=0；

2. （bxc，cxa，axb）

   =（b，c，a）（c，a，b）-（b，c，c）（a，a，b）

   =（a，b，c）^2=0，则（a，b，c）=0，即a，b，c共面.

高等代数——

例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——

设矩阵A满足，A^2+A-4E=0，求（A-E）^（-1）.

解：

1. A^2+A-4E=0，则A^2+A-2E=2E，则（A+2E）（A-E）=2E，（A/2+E）（A-E）=E；

2. （A-E）^（-1）=A/2+E.

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