概率论期中考串讲

今天给大家讲的是概率论期中考前内容，期中考试范围包括了第一章，第二章以及第三章前三节的内容，考试的题型有10道选择和5道填空。第一章我会简单地带过，然后着重地讲一下第二三章内容，过程中可能会指出哪些是我个人觉得比较重要的地方，希望可以用比较易懂的讲解帮助大家更好的进行知识梳理和期中复习，大家也可以根据自己的需要进行观看。然后我自己也是和大家一起学习的嘛，过程中可能会有些地方讲错，也欢迎大家在评论区和弹幕进行指正。

第一章：

一：

1.了解概率论里面基本的概念。

2.相较于高中，个人认为新一点的概念可能是“事件之差”还有“分配律”“摩根律”这两种计算定律，这两条定律在后面用得比较多，摩根律概括起来就是“交的补等于补的并”，“并的补等于补的交”。

3.个人认为加法公式（互斥的加法公式）和减法公式是第一章的重点，不出意外应该会有一道题用这两条公式来计算概率，考察的方式可能会和摩根律以及后面的条件概率相结合。

二：

1.古典概率：最基础，要掌握的就是排列，组合的计算

摸球问题、随机抽样、开房门、分房、电话号码、生日日期等问题，注意算的时候有没有带顺序，有顺序用排列A，没有就用组合C。（这些在高中学的比较多，我就不举例了，大家有遗忘的可以看看课本的例题，里面涵盖了几乎所有的类型）

2.几何概率：随机取值，判别式求概率、约会问题（经典）、取数问题，遇到后面这两类问题一般是在平面直角坐标系中画直线，然后算围成区域，与总的区域面积的比值

3.概率的公理定义第二条可以用在第二章或者第三章求一个概率密度函数的未知系数

三：

1.条件概率的公式也是第一章重点

2.乘法定理其实就是条件概率把分母移到另一边

3.全概率公式和贝叶斯公式也是第一章重点，个人认为应该也会有一道题

四：

1.独立可以和前面的加法公式中的P（AB）结合，也可以和减法公式结合在一起进行计算，同时，它也可以和条件概率结合，如果两个事件相互独立，那么竖线后面的事件不对前面的事件产生影响，举个例子，也就是P（B|A）＝P（B）

第二章：

一：

1.随机变量分为离散型和连续型，在后面的计算概率的时候用到的计算方法可能会有所不同

2.求系数用的就是前面说的概率公理定义的第二条，概率和为1。如果n的个数为无穷个的时候，会用到高中所学的等差、等比的求和公式，以及列项相消法。

3.写分布列的时候，一般随机变量从小到大写。判断一个是否为分布列，只需看它每一个概率是否大于0以及它的概率和是否为1

4.二项分布与两点分布的关系：二项分布式多次的两点分布，二项分布也就是前面第一章说的贝努力公式Pn（k）=…

5.几何分布其实就是在重复独立试验中（注意是在独立的前提），前几次试验中发生的事件都是“A的补”，最后一次才有A的发生

6.泊松分布的公式要记熟

7.概率分布函数是前三章的重中之重，它表示的是把小于等于x的概率全都加起来

8.求离散型的分布函数：

区间根据x取值进行分割，比如有-1,2,3三个x，就分成x小于-1，-1<=x<2，2<=x<3，x>=3，x＜部分不加=号

9.比较简单的题型有给分布列求分布函数，以及给分布函数求分布列

二：

1.如果把F（x）概率看成质量，那么f（t）是它的线密度，dt表示每一段小小的微元的线段长度，将它从-∞到x进行积分，得到的就是概率F（x）

2.在连续型随机变量中，随机变量取个别值的概率为0，讨论连续型随机变量取单个值的概率是无意义的。一个重要的结论：一个事件的概率等于0，这个事件不一定是不可能事件；一个事件的概率等于1，这个事件的概率也未必是必然事件。

3.求连续型系数：

（1）根据连续型分布函数连续的性质

（2）根据概率密度函数从-∞到+∞积分值为1

4.求连续型的分布函数：

区间根据概率密度函数的区间范围进行分割，和离散型分布函数一样，x＜部分不加=号

5.求连续型落在某区间的概率：

（1）用分布函数求

（2）用概率密度函数积分求

6.求连续型概率密度函数：对分布函数求导

7.标准正态分布有特定的符号，任何一个正态分布的分布函数都可以转化成标准正态分布的分布函数进行计算

三：

1.本节讨论的重点是已知X的分布，求函数Y=f（X）的分布，同样分为离散型和连续型两类。

2.对于离散型的分布列，比较简单，只需要计算相应的Y，Y的概率和计算这个Y使用的X的概率一样

3.对于连续型的分布列，一种是严格单调，一种是分段单调，无论是哪种都应该把公式记牢，并懂得运用（个人认为是重点）。对于分段单调的计算时多了一个求和，也就是把每一段的合并在一起。

第三章：

一：

1.联合分布函数F（x，y）表示事件{X<=x}和{Y<=y}同时发生的概率。性质1，如果x和y有一个取值为-∞的时候，它表示其中有一个是x<-∞它的联合分布函数就是0。当x和y两个取值都是+∞，它表示囊括了所有x、y的所有可取的值，所表示的分布函数值为1。

2.性质2可以参考一维随机变量进行理解，表示对于x和y其中一个变量而言，F（x，y）都是单调不减的

3.性质4可以通过画图理解

4.联合分布列也可分成离散型和连续型

5.引入边缘分布列的定义，对X的边缘分布列就是在每一个X的取值条件下，将所有的Y进行求和，同理，对Y的边缘分布列就是在每一个Y的取值条件下，将所有的X进行求和。对于X的边缘分布列，它将Y的变量抹去，得到的概率只与X有关，同理可得对于Y的边缘分布列，得到的概率只与Y有关。因此边缘分布列具有一维分布列的性质。并且联合分布列唯一决定边缘分布列。

6.对于离散型的边缘分布列，引入pi.和p.j分别放在联合分布列的最右一列和最下一行作为边缘分布列。

7对于离散型的分布函数，分类依据类比于一维变量的分布函数，根据X和Y的取值条件进行分段。

8.联合分布函数尤其是连续型的联合分布函数是第三章的重点内容。同样的，如果把F（x，y）概率看成质量，那么f（x，y）是它的面密度，dxdy表示每一段小小的微元的面积，将它们分别从-∞到x，从-∞到y进行积分，得到的就是概率F（x，y）。

9.关于X的边缘概率密度是将y从-∞到+∞进行积分，从而抹去y这一变量，剩下的概率密度只与x有关；关于Y的边缘概率密度是将x从-∞到+∞进行积分，从而抹去x这一变量，剩下的概率密度只与y有关。

10.求联合概率密度的系数，用到的也是概率之和为1这一性质，将x、y进行二重积分，所得的值为1

11.求对X的边缘分布列则对y进行积分；求对X的边缘分布列则对y进行积分。

12.求在某个区域的概率，如果只有X（或Y），则用对X（或Y）的边缘概率密度进行计算，将所要求的区域结合x，y的定义域进行积分；如果含有X和Y两者，则需对联合概率密度进行二重积分，积分区域同样需要综合考虑联合概率密度的积分域以及题目所给区域。

13.求联合分布函数F（x，y），则对（X，Y）的概率密度进行二重积分，积分域即为联合概率密度的定义域。

14.题目如果给了某一种分布类型，相当于给了一个联合概率密度。

15.一维的均匀分布相当于是1/长度，二维的均匀分布相当于1/面积。

二：

1.求连续型随机变量的条件概率密度时，需要先求关于|后面的的变量的边缘分布列，再代入公式

2.如果题目给了条件概率密度和边缘概率密度，则相乘可得到联合概率密度，从而可算出另一个变量的边缘密度

3.验证随机变量独立性：

（1）离散型：验证不独立只需要有一个（i，j）不满足式子，验证独立需要全部的（i，j）都满足式子

（2）连续型：需要求两个边缘分布列